Mostrar que el ideal de la $k[X_1, X_2, X_3]$ generado por $X_1^3-X_3$ $X_2^2-X_3$ es un alojamiento ideal.

Question

Mostrar que el ideal de $I$ $k[X_1, X_2, X_3]$ generado por $X_1^3-X_3$ $X_2^2-X_3$ es un alojamiento ideal, donde $k$ es un campo.

Traté de demostrar por contradicción. Supongamos $f$ $g$ no son de la forma $(X_1^3-X_3)F+(X_2^2-X_3)G$ pero $fg$ es, pero no veo por qué esto no debería suceder.

Puede alguien señalar cómo?

Answer 1

Sugerencia. Considerar la homomorphism $k[X_1, X_2, X_3] \to k[T]$ envío de $X_1$ a $T^2$, $X_2$ a $T^3$, e $X_3$$T^6$. ¿Qué es el kernel? ¿Cuál es su imagen?

Answer 2

La expansión en el "grado" de comentarios (aunque DEBE haber una forma más elegante..): Considerar el mapa:

$K[X_1,X_2,X_3] \rightarrow k[T]$ envío de $X_1$ a $T^2$, $X_2$ a $T^3$, e $X_3$$T^6$.

Supongamos $f$ está en el kernel. Ahora, si $X_3$ aparece en cualquier lugar en $f$, se puede reemplazar con $X_1^3 - (X_1^3 - X_3)$. En particular, debemos ser capaces de escribir $f = (X_1^3 - X_3)q + f_1$ donde $f_1$ no tiene ningún tipo de términos con $X_3$ en ellos. Del mismo modo, podemos escribir $f_1 = (X_1^3 - X_2^2)q' + f_2$, donde en $f_2$, $X_2$ aparece en la mayoría de los de grado 1.

Ahora, si $f$ fue en el núcleo, a continuación, $f_2$ también deben estar en el núcleo. Si $f_2 = 0$, entonces estamos de hecho, ya hemos demostrado que $f$ es una combinación lineal de $X_1^3 - X_3$$X_1^3 - X_2^2$. Si $f_2$ no es cero, elegir el término distinto de cero $\alpha X_1^a X_2^b$ maximizar $2a + 3b$. Desde $b$ es $0$ o $1$, este término es única, y esto implica que la imagen de $f_2$ bajo nuestro mapa contendrá un término que se parece a $\alpha T^{2a + 3b}$, pero esto contradice nuestra suposición de que $f_2$ está en el kernel.