Encontrar el entero de soluciones de la ecuación de $3\sqrt {x + y} + 2\sqrt {8 - x} + \sqrt {6 - y} = 14$

Question

$ 3\sqrt {x + y} + 2\sqrt {8 - x} + \sqrt {6 - y} = 14 $ .

Ya he solucionado utilizando el Cauchy–Schwarz desigualdad y consiguió $x=4$$y=5$. Pero estoy seguro de que hay un más guapa, la solución más sencilla a este y me preguntaba si alguien podría sugerir uno.

Answer 1

El Cauchy-Schwarz desigualdad va como esto:

$LHS \leq \sqrt{3^2+2^2+1^2}\cdot \sqrt{\left(\sqrt{x+y}\right)^2+\left(\sqrt{8-x}\right)^2+\left(\sqrt{6-y}\right)^2}=14=RHS$.

Por lo tanto usted tiene la igualdad cuando la $\dfrac{3}{\sqrt{x+y}}=\dfrac{2}{\sqrt{8-x}}=\dfrac{1}{\sqrt{6-y}} \to x=4,y=5$.

Answer 2

Basado en lo que usted escribió, podemos deducir los siguientes: $$x+y\geq 0$$ $$8-x\geq 0 $$ $$6-y \geq 0$$ As a result, $$14 \geq x+y\geq 0$$ Usted también sabe que $x+y$ es un cuadrado. Por lo tanto, usted tiene sólo 4 plazas que cumplen esta doble desigualdad: $$ 0, 1, 4, 9$ Usted puede eliminar de forma muy rápida 0, 1 como opciones porque sería para 2 irrationals.

Tan lejos como $4$, lo que generaba $ (0,4),(4,0),(1,3),(3,1) $$(2,2)$ . Claramente ninguno de ellos satisface la ecuación.

$9$ genera $(3,6),(6,3),(4,5)$$ (5,4)$. No podemos tomar en consideración $(0,9),(9,0)$ porque $x\leq8$$y \leq 6$.

A partir de aquí, dado el hecho de que $8-x$ $6-y$ deben ser cuadrados perfectos, se puede deducir que el único par que satisface su ecuación es $(4,5)$.

Answer 3

Este es un trivial solución de manera que obtenemos la respuesta en números enteros

8 - x y 6 - y están en la raíz de manera que x <8 y y <6 , para hacer 6 - y para ser cuadrado perfecto y=2 o 5. y del mismo modo que x=4 o 7.

Ahora que x+y es también en virtud de la raíz por lo que x+y tiene que ser un cuadrado perfecto. Así que tenemos dos pares de (x, y)=(7,2) y (2,5) pero (7,2) no satisfacen la ecuación, de modo ur respuesta es x=4, y=5.