¿Cuál es el significado del símbolo "$\left|\underline{\;n\;}\right.$" para el entero $n$?

Question

Por ejemplo,

(6) La secuencia de números primos es infinita.

Porque, si $p$ es un número primo, el número ${\begin{array}{|c}\color{red}p\\\hline\end{array} + 1}$ es mayor que $p$ y no es divisible por $p$ o por cualquier número primo más pequeño. Si entonces ${\begin{array}{|c}p\\\hline\end{array} + 1}$ no es un número primo, debe tener un divisor primo mayor que $p$, y en cualquier caso un número primo mayor que $p$ existe.

Y aquí hay otro:

9. Teoremas.

(1) El producto de cualquier $n$ enteros consecutivos es divisible por $\begin{array}{|c}n\\\hline\end{array}$

Para $(m+1)(m+2)...(m+n)/\begin{array}{|c}n\\\hline\end{array} = \begin{array}{|c}\color{red}{m + n}\\\hline\end{array}/\begin{array}{|c}\color{red}m\\\hline\end{array}\begin{array}{|c}\color{red}n\\\hline\end{array}$, y para mostrar que la última expresión es un número entero es suficiente mostrar que cualquier número primo $p$ que ocurra en $\begin{array}{|c}\color{red}m\\\hline\end{array}\begin{array}{|c}\color{red}n\\\hline\end{array}$ ocurre al menos con la misma potencia en $\begin{array}{|c}\color{red}{m+n}\\\hline\end{array}$. Así que tenemos que mostrar que

$$I[(m+n)/p]+I[(m+n)/p^2]+I[(m+n)/p^3]+... \\ \geq I[m/p]+I[m/p^2]+I[m/p^3]+... \\ +I[n/p] +I[n/p^2]+I[n/p^3]+...$$

Answer 1

En "A History of Mathematical Notations" de Cajori, este símbolo se atribuye a Thomas Jarrett y significa $n!$. Consulta el artículo 447 del libro de Cajori para la atribución y los artículos 448 y 449 para la historia de su uso, principalmente en el siglo XIX.

Answer 2

Esta es la notación que alguna vez se usó para factoriales. Tengo una copia de Higher Algebra de Hall y Knight (reimpresión de 1964, publicado por primera vez en 1887) que utiliza esta notación. Un escaneo de dos páginas del libro se encuentra en la parte superior de la página https://kconrad.math.uconn.edu/factorials/ muestra esa notación de esquina definida y también se menciona a n! como otra notación que "a veces se usa". Más abajo en esa página web hay capturas de pantalla de la notación factorial de esquina en trabajos de Eisenhart y Hilbert y en la parte inferior de la página hay una foto en Colorado State de hace mucho tiempo que muestra a alguien usando la notación factorial de esquina en un pizarrón.

La página de Wikipedia sobre factoriales dice que el uso de ! para el factorial fue introducido a principios de 1800.

Answer 3

Agregando a @Bernard Masse, la historia de las notaciones para productos de términos en progresión aritmética es bastante larga. Lo siguiente se toma de Christian Kramp, 1808, Elémens d'arithmétique universelle (pdf), p. XI-XII:

Para designar los productos cuyos factores constituyen entre sí una progresión aritmética, como $a(a+r)(a+2r)....(a+nr-r)$, he conservado la notación $a^{n|r}$, ya propuesta en mi análisis de las refracciones; les he dado el nombre de facultades. Arbogast le había sustituido la denominación más clara y más francesa de factoriales; reconocí la ventaja de esta nueva denominación; y al adoptar su idea, me congratulé de poder rendir homenaje a la memoria de mi amigo.

donde $1^{p|1}$ denotaría el factorial (actualmente).

Él usó el término "facultades (facultées en francés)", reconoció a Louis Arbogast por el término "factoriales (factorielles)", y en la página 348, introduce la notación $p!$ para $1^{p|1}$ (detalles adicionales en Historia de la notación: "!"). Puedes encontrar esto en el Artículo 445 (Volumen 2, Página 66) en Florian Cajori, 1993, Una Historia de las Notaciones Matemáticas (Dover Publications).

Del Artículo 447, Cajori menciona a Thomas Jarrett (1805–1882) por su extenso estudio de notaciones algebraicas, Un ensayo sobre desarrollo algebraico: que contiene las principales expansiones en álgebra común, en cálculo diferencial e integral, y en cálculo de diferencias finitas, 1831, Página 15, Artículo 38, encuentras:

$$\begin{array}{|c}p\\\hline\end{array}=p(p-1)\ldots 1$$

El símbolo $\underset{n,m}{\begin{array}{|c}a\\\hline\end{array}}$ denota el producto de $n$ factores que forman una progresión aritmética, cuyo primer término es $a$, y la diferencia común $m$; si $m = -1$, el $m$ puede omitirse; y si, en el mismo caso, $n = a$ el $n$ también puede omitirse: así

$\underset{n,m}{\begin{array}{|c}a\\\hline\end{array}} = a(a+m)(a+2m)...(a+\overline{n-1}.m)$,
$\underset{n\phantom{,m}}{\begin{array}{|c}a\\\hline\end{array}} = a(a-1)(a-2)...(a-n+1)$, y

Answer 4

Por el contexto, parece que significa factorial ($n!=1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$). Pero nunca lo había visto antes.

Answer 5

El primer ejemplo es una conocida prueba del resultado de Euclides sobre la infinitud de los números primos; uno toma un número primo $p$, luego hace $$ N=1+p! $$ y muestra que $N$ no es divisible ni por $p$ ni por ningún primo más pequeño, porque cada uno divide a $p!$. Por lo tanto, existe un primo mayor que $p$, porque $N>1$ es divisible por un primo. Esto significa $\begin{array}{|c}p\\\hline\end{array}=p!$ (perdón por la mala emulación del símbolo); podría significar el primorial, es decir, el producto de todos los números primos desde $2$ hasta $p$, pero esta interpretación contradiría el uso en el segundo ejemplo.