Su error está en pensar que $E/F$ es inseparable.
En primer lugar, tenga en cuenta que $x^5-2$ no es irreducible: por Fermat Poco Teorema, $a^5 = a$ todos los $a\in F$, lo $2$ es una raíz de $x^5-2$$F$. Por lo tanto, la división de campo de la división de campo de un irreducible de grado menor que $p$, y así va a ser separables (por ejemplo, por la derivada de la prueba).
También, tenga en cuenta que finito campos perfecto (un campo de $k$ es perfecto si y sólo si $k$ es de carácter $0$ o $k$ es de carácter $p$$k^p=k$). Si $k$ es un campo perfecto, entonces cada algebraicas extensión de $k$ es perfecto. (E. g., Corolario V. 6.12 en Lang Álgebra).
Todos los campos finitos son perfectos, ya que el Frobenius mapa de $x\mapsto x^p$ es un automorphism ( $(a+b)^p = a^p+b^p$ $(ab)^p =a^pb^p$ ; y $a^p=0$ si y sólo si $a=0$). Así que cada algebraicas extensión de un campo finito es necesariamente separables.
El libro que cita tiene tres referencias explícitas a la declaración en cuestión, sin embargo, están pidiendo "referencias o alusiones"...
Lang Álgebra (Revisado 3ª Edición), Capítulo VIII, Sección 5, página 370, se tiene:
Deje $K(x)$ ser una extensión de $K$, y deje $D$ ser una derivación de $K$. Deje $f(X)$ ser el polinomio irreducible satisfecho por $x$$K$, y deje $D$ ser una derivación en $K$.
Si $x$ es separable algebraicas sobre $K$, vamos a $f(X)$ ser el polinomio irreducible de $x$$K$. A continuación,$f'(x)\neq 0$, y si tenemos que definir
$$u = -\frac{f^D(x)}{f'(x)},$$
donde $f^D$ es el polinomio obtenido a partir de $f$ mediante la aplicación de $D$ a los coeficientes de $f$, entonces para cualquier $g(x),h(x)\in K[x]$, $h(x)\neq 0$, definimos
$$\begin{align*}
D^*g(x) &= g^D(x) + g'(x)u\\
D^*(g/h) = \frac{hD^*g - gD^*h}{h^2}
\end{align*}$$
da una derivación en $K(x)$ que es una extensión de $D$.
Si $x$ es trascendental $K$, entonces usted puede extender $D$, definiéndolo como el anterior y con $u$ un elemento arbitrario de $K(x)$.
Y si $x$ es puramente inseparable sobre $K$, lo $x^p-a=0$ algunos $a\in K$, $D$ se extiende a $K(x)$ si y sólo si $Da=0$; por lo que si $D$ es trivial en $K$, se puede ampliar mediante la selección de $u$ arbitrariamente de nuevo.
Entonces tenemos:
La proposición 5.2. Un finitely geenrated extensión de $K(x_1,\ldots,x_n)$ $K$ es separable algebraica si y sólo si cada derivación $D$$K(x_1,\ldots,x_n)$, lo que es trivial en $K$ es trivial en $K(x_1,\ldots,x_n)$.
Prueba. Si $K(x_1,\ldots,x_n)$ es separable, entonces se puede extender mediante la aplicación del primer caso descrito anteriormente en varias ocasiones. Es la extensión no es separable, se puede descomponer en una torre de extensiones entre el $K$ $K(x)$ de manera tal que cada paso es separable, trascendental, o puramente inseparable. Al menos un paso debe ser de uno de estos dos últimos tipos. El la parte superior de dicho paso, y lo utilizan para la construcción de una derivación que es trivial en la base, pero no en la parte superior para establecer la inversa.
Esto le da a usted cómo extender la derivación si $E/F$ es separable.
Por el contrario, tenga en cuenta que si $K(x_1,\ldots,x_n)$ es un finitely generado extensión, y $f\in K[X_1,\ldots,X_n]$, vamos a $\partial f/\partial x_i$ $\partial f/\partial X_i$ evaluado en $(x_1,\ldots,x_n)$. Si $f(X)\in K[X_1,\ldots,X_n]$ es un polinomio que se desvanece en $(x_1,\ldots,x_n)$, entonces cualquier extensión de $D^*$ $D$ debe satisfacer
$$0 = D^*f(x) = f^D(x) + \sum\frac{\partial f}{\partial x_i}D^*x_i;$$
y esta condición también es suficiente para una extensión de existir. Si $E/F$ es no separable, a continuación, utilizar esta condición necesaria para la construcción de una derivación que no puede ser extendido.
