Su corrector fue parcialmente incorrecta. El punto es que si algunos de $\mathbf{x} = \langle x_1 , \ldots , x_n \rangle$ no pertenece a $A$, esto es atestiguado por un incumplimiento de la condición por la que en la mayoría de las dos coordenadas de $\mathbf{x}$. Podemos, a continuación, elija abrir intervalos de coordenadas tal que , independientemente de cómo nos los puntos de recogida para "pasar a través" de estos intervalos, se obtiene el mismo error de ser un elemento de $A$. Este sería el mismo que se toman las proyecciones sobre estas otras coordenadas que ser la $\mathbb{R}$.
Vamos a trabajar a través de esta pregunta un poco más plenamente. Si $\mathbf{x}$ no $A$, hay tres posibilidades.
Si $x_1 < -1$, entonces considere el conjunto a $U = ( - \infty , -1 ) \times \mathbb{R} \times \cdots \mathbb{R}$. Esto está abierto en $\mathbb{R}^n$, contiene $\mathbf{x}$, y es disjunta de a $A$ (ya que para cualquier $\mathbf{y} = \langle y_1 , \ldots , y_n \rangle \in U$ debemos tener $y_1 < -1$
Si $x_n > 1$, entonces considere el $U = \mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R} \times ( 1 , + \infty )$. de nuevo, esto está abierto en $\mathbb{R}^n$, contiene $\mathbf{x}$, y es disjunta de a $A$ (ya que para cualquier $\mathbf{y} = \langle y_1 , \ldots , y_n \rangle \in U$ debemos tener $y_n > 1$).
Si $i < n$ es tal que $x_i > x_{i+1}$, luego deje $a = \frac{x_i + x_{i+1}}2$, y considerar el conjunto $U = \mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R} \times ( a , + \infty ) \times ( -\infty , a ) \times \mathbb{R} \times \cdots \mathbb{R}$ (donde el "$(a,+\infty)$" aparece en la $i^\text{th}$ de coordenadas). Esto está abierto, contiene $\mathbf{x}$, y es disjunta de a $A$ (ya que para cualquier $\mathbf{y} = \langle y_1 , \ldots , y_n \rangle \in U$ debemos tener $y_i > a > y_{i+1}$).
Como se puede ver, en este tercer caso, debíamos considerar la posibilidad de abrir intervalos de dos coordenadas.
