Mostrando $\cos (\arcsin(\cos(\theta))) = \lvert \sin (\theta) \rvert$

Question

¿De dónde absoluta de la función debe aparecer y por qué?
Con la siguiente ecuación:

$$ \cos (\arcsin(\cos(\theta))) = \lvert \sin (\theta) \rvert $$ Con $ -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$.

Me dibuja un triángulo y fácilmente encontrado el siguiente:

1. Definición: $\cos(\theta) \equiv \frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}} \\$
2. a continuación, $\arcsin(\cos(\theta)) = \frac{\pi}{2} - \theta$
3. por lo tanto $\cos (\arcsin(\cos(\theta))) = \sin(\theta)$

Pero, ¿por qué el valor absoluto parecen y en qué fase?
¿Cómo funciona el valor absoluto en última instancia rodea a toda la expresión?

Answer 1

el lado izquierdo de la ecuación es una función par de $\theta,$ por lo tanto el lado derecho también debe ser una función par de $\theta.$ que es la razón por la que ver el valor absoluto signo en el lado derecho.

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p.s. si usted toma $0 < t < \pi/2,$ $\sin^{-1}(\cos t) = \pi/2 - t$ $\cos(\sin^{-1}(\cos t) ) = \cos(\pi/2 -t) = \sin t = |\sin t|.$

si usted toma $-\pi/2< t < 0,$ $\sin^{-1}(\cos t) = \pi/2 + t$ $\cos(\sin^{-1}(\cos t) ) = \cos(\pi/2 +t) = -\sin t = |\sin t|.$

Answer 2

Debido a $\cos$ es positiva entre el $-\frac{\pi}{2}\le \theta \le \frac{\pi}{2}$. Nota, además, que el seno es negativo entre el $-\frac{\pi}{2}\le \theta \lt 0$.

Answer 3

$1$. Definición: $\cos(\theta)\equiv\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}$

Este es su primer error, ya que también podemos tener $\cos(\theta)\equiv-~\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}$

$2$. A continuación, $\arcsin(\cos(\theta))=\dfrac\pi2-\theta$

Este es el segundo error, ya que también podemos tener $\arcsin(\cos(\theta))=\dfrac\pi2+\theta$

$3$. Por lo tanto $\cos(\arcsin(\cos(\theta)))=\sin(\theta)$

Este es su tercer error, que es la continuación de los dos anteriores.

Answer 4

Si ignoramos el dominio y el rango de funciones, nos podemos acabar algo como esto:

$$\begin{split} \cos(\theta) &= \sin( \frac{\pi}2 + \theta) \\ \arcsin(\cos(\theta)) &= \frac{\pi}2 + \theta (*)\\ \cos(\arcsin(\cos(\theta))) &= \cos(\frac{\pi}2 + \theta) \\ &= -\sin \theta \end{split}$$

Sin embargo el $(*)$ línea no está muy bien. El rango de $\arcsin$$[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2]$, y el rango de la mano derecha es $[0,\pi]$. Así que para los positivos $\theta$, es incorrecta, lo que realmente debe ser:

$$ \begin{split} \arcsin(\cos(\theta)) &= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\pi}2 + \theta & \mbox{if } \theta < 0 \\ \frac{\pi}2 - \theta & \mbox{if } \theta \geq 0 \end{array} \right. \\ &= \frac{\pi}2 - |\theta| \\ \cos(\arcsin(\cos(\theta))) &= \cos(\frac{\pi}2 - |\theta|) \\ &= \left\{ \begin{array}{ll} -\sin(\theta) & \mbox{if } \theta < 0 \\ \sin(\theta) & \mbox{if } \theta \geq 0 \end{array} \right. \\ \end{split} $$

Desde $\sin \theta < 0$$-\frac{\pi}2 \leq \theta \leq 0$, que simplemente se reduce a $\cos(\arcsin(\cos(\theta))) = |\sin(\theta)|$.