Si $ x \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ . Entonces el valor de $x$ en $ \frac{3}{\sqrt{2}}\sec x-\sqrt{2}\csc x = 1$

Question

Si $\displaystyle x \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ entonces encuentre un valor de $x$ en $\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}\sec x-\sqrt{2}\csc x = 1$

$\bf{Attempt:}$ En $$\frac{3}{\sqrt{2}\cos x}-\frac{\sqrt{2}}{\sin x} = 1.$$

$$3\sin x-2\cos x = \sqrt{2}\sin x\cos x$$

$$(3\sin x-2\cos x)^2 = 2\sin^2 x\cos^2 x$$

$$9\sin^2 x+4\cos^2 x-12 \sin x\cos x = 2\sin^2 x\cos^2 x$$

Alguien podría ayudarme a solucionarlo, gracias

Answer 1

Utilice $\sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}$ y $\cos{x}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ donde $t=\tan\frac{x}{2}$ .

Una de las raíces es $\sqrt2-1$ y el segundo es muy feo.

Para $\tan\frac{x}{2}=\sqrt2-1$ obtenemos $\frac{x}{2}=22.5^{\circ}+180^{\circ}k,$ donde $k\in\mathbb Z$ ,

que da $x=\frac{\pi}{4}$ .

La segunda raíz no da soluciones.

Answer 2

La función es creciente en $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ lo que se puede comprobar fácilmente diferenciando y viendo que la derivada es positiva (en el intervalo dado).

Es fácil ver que $x = \dfrac{\pi}{4}$ es una raíz y por lo tanto es la única raíz en $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$

Answer 3

Para aprovechar $\sqrt2$ en la simplificación reestructurar la ecuación a:

$$\frac{3 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\cos x}-\frac{2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\sin x} = 1,$$

y así por inspección es obviamente $ x= \pi/4.$

Answer 4

Creo que es mejor hacer lo siguiente.

Sea $x=\frac{\pi}{4}+t$ donde $t\in\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$ .

Por lo tanto, tenemos que resolver que $$3\sin{x}-2\cos{x}=\sqrt2\sin{x}\cos{x}$$ o $$3(\sin{t}+\cos{t})-2(\cos{t}-\sin{t})=\cos^2t-\sin^2t$$ o $$\sin{t}(5+\sin{t})+(1-\cos{t})\cos{t}=0$$ o $$\sin\frac{t}{2}\left(\cos\frac{t}{2}(5+\sin{t})+\sin\frac{t}{2}\cos{t}\right)=0$$ y puesto que $$\cos\frac{t}{2}(5+\sin{t})+\sin\frac{t}{2}\cos{t}=5\cos\frac{t}{2}+\sin\frac{3x}{2}>5\cos\frac{\pi}{8}-1>0,$$ obtenemos $\sin\frac{t}{2}=0$ lo que da $t=0$ y $x=\frac{\pi}{4}$ .