Extensión de campo de composite de grado tiene no trivial de la sub-extensión

Question

Deje $E/F$ ser una extensión de los campos de con $[E:F]$ compuesto (no primo). Debe haber un campo de $L$ entre $E$ $F$ que no es igual a $E$ o $F$? Para probar que esto es cierto, es suficiente para producir un elemento $x\in E$ tal que $F(x) \not= E$, pero no puedo encontrar una manera para producir un elemento. Alguna idea?

Answer 1

Considerar el grupo simétrico $G$$\Omega = \{ 1, 2, 3, 4 \}$, dicen. El estabilizador $H$ 4 es isomorfo a $S_3$, y desde $G$ actúa transitivamente sobre $\Omega$, $\lvert G : H \rvert$ = 4. Desde $G$ hechos 2-transitivamente en $\Omega$, actúa primitivamente en $\Omega$, por lo que el 1-punto estabilizador $H$ es máxima en $G$.

Ahora considere la posibilidad de la división de campo de $E$$\mathbb{Q}$, es decir, un polinomio de grado 4, que ha Galois grupo isomorfo a $G$. El subcampo $F$ $E$ correspondiente a$H$$\lvert F : \mathbb{Q} \rvert = 4$, y desde $H$ es máxima en $G$, no hay subcampo entre el$\mathbb{Q}$$F$.

PS Uno de esos polinomio es $X^4-X^3+1$.

Answer 2

Asumiendo $E/F$ separables, entonces no hay subcampo distinto a $E,F$ si y sólo si el grupo de Galois $G$ de la Galois cierre de $N/F$ es primitivo w.r.t. La acción en el cosets $G/H$ donde $H=Gal(N/E)$. En particular, esto sucede si $G=S_n$ o $A_n$ donde $n=[E:F]$.

Answer 3

Deje $L/\mathbb Q$ ser una extensión de Galois con grupo de Galois $A_4$, esto es ciertamente posible, aunque la parte superior de mi cabeza no puedo recordar un polinomio que da esta extensión. Ahora $A_4$ tiene un subgrupo $H$ de índice de $4$ es decir, el subgrupo generado por un ciclo, pero en este subgrupo no está correctamente contenida en otro adecuada subgrupo de $A_4$. En particular, vamos a $K$ ser el campo fijo de $H$, $H$ no tiene no trivial adecuada subcampos porque esto implicaría que $H$ fue correctamente contenida en una adecuada subgrupo. Por supuesto, también tenemos $[K:\mathbb Q]=4$.

En general, para encontrar un ejemplo, uno puede encontrar un grupo de $G$ que tiene un subgrupo maximal con el índice deseado. Entonces uno puede darse cuenta de $G$ como grupo de Galois de un campo de funciones racionales y mirar el campo fijo del subgrupo tener un contraejemplo.

Answer 4

En una respuesta anterior, que considera la división de campo de $E$ de

$$ f(x) = (x^3 + x + 1)^2 + 1 $$

Doing calculation with sage, I determined the Galois group $\texto{Ga}(E/F)$ has 72 elements. It has subgroups of 8 elements, but no subgroups of 24 elements.

Therefore, $E/\mathbb{Q}$ contains a degree 9 subextension $K/\mathbb{Q}$, and $K/\mathbb{Q}$ no contiene ningún grado 3 subextensions.

Answer 5

No sé cómo usted puede encontrar un elemento primitivo de modo abstracto, sino, de una extensión en particular con los campos que se indique lo contrario, debe ser útil el uso de la prueba del Teorema de Steinitz en finitos extensiones. Se da un método para encontrar una primitiva elemento en el formulario

$$\alpha + \lambda \beta,\quad \alpha, \beta\in E,\, \lambda \in F.$$

Usted puede encontrar la prueba de este teorema en

Bastida, Julio. "Campo y Extensiones de Galois Tehory". Página 155