está cerrado

Question

Tengo algunas preguntas con respecto a este ejercicio: Vamos a $C=\{s \in \mathbb{R}^\mathbb{N}: s(n+1) \leq 2s(n), \forall n \in \mathbb{N}\}$. Necesito mostrar que $C$ es cerrado en $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ por debajo del producto de la topología.

Así que lo que estoy tratando de hacer es mirar el complemento de $C$ y tratar de demostrar que está abierto mediante la toma de una función de $t \in \mathbb{R}^\mathbb{N} \setminus C$ y viene con un conjunto abierto $U = \prod_{k=1}^\infty U_k $, pero ahora no estoy seguro de cómo definir el finito $U_k$'s que no son iguales a $\mathbb{R}$. Alguna idea?

Answer 1

Los mapas de $v_n:\Bbb R^{\Bbb N}\to\Bbb R$ $v_n(s)=s(n)$ son todas continuas. Conjunto de se $$C=\bigcap_{n\in\Bbb N}(2v_{n}-v_{n+1})^{-1}\left([0,\infty)\right)$$

Que debe ser cerrado.

Answer 2

Usted puede resolver este a lo largo de exactamente las líneas que estaban pensando.

Si $t \in \mathbb{R}^\mathbb{N} \setminus C,$, entonces hay algo de $n_0\in \mathbb{N}$ tal que $t(n_0+1)\gt 2\,t(n_0).$

Deje $\varepsilon=\dfrac{t(n_0+1)-2\,t(n_0)}{3},$ lo cual es positivo.

Definir $U_{n_0}$ a ser el conjunto abierto $(-\infty,t(n_0)+\varepsilon),$ y definen $U_{n_0+1}$ a ser el conjunto abierto $(t(n_0+1)-\varepsilon,\infty).$

Set $U_k=\mathbb{R}$ todos los $k$ otros de $n_0$ $n_0+1.$

A continuación, $t\in \prod_k U_k,$ y, para cualquier $s\in \prod_k U_k,$ hemos

\begin{align} s(n+1)-2s(n)&\gt t(n_0+1)-\varepsilon-2(t(n_0)+\varepsilon) \\&=t(n_0+1)-2\,t(n_0)-3\varepsilon \\&=0, \end{align}

de modo que $\prod_k U_k \subseteq \mathbb{R}^\mathbb{N} \setminus C.$