Acotamiento del operador en el espacio de Hilbert

Question

Tengo la siguiente pregunta: vamos a $\mathcal{H}$ ser un espacio de Hilbert y $\{\varphi_{i}\}_{i \in \mathbb{N}}$ ser un ortonormales. Además vamos a $T: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ ser parte de un operador. Si existe una constante $K > 0$ tal que $\|T \varphi_{i} \| \leq K$, $\forall i$, es entonces $T$ delimitada? Si sí, ¿cuál es el argumento de mostrar esto? Gracias de antemano.

Haro

Answer 1

En $l^2(\mathbb Z)$, Vamos a $T({\bf e}_n) = {1 \over \sqrt{n}} \sum_{i=1}^n {\bf e}_i$, donde ${\bf e}_i$ indica el $i$th unidad de coordenadas del vector. A continuación, $||T({\bf e}_n)|| = 1$ por cada $n$. Deje $v_n = \sum_{i=1}^n {\bf e}_i$. A continuación,$||v_n|| = \sqrt{n}$, y el $j$ésima componente de $T(v_n)$$\sum_{i=j}^n i^{-{1 \over 2}}$. Para $j \leq {n \over 2}$, este es, al menos,$\sum_{i={n \over 2}}^n i^{-{1 \over 2}} > C\sqrt{n}$. Desde el primer ${n \over 2}$ entradas de $T(v_n)$ al menos $C\sqrt{n}$,$||T(v_n)|| \geq Cn$. Desde $||v_n|| = \sqrt{n}$ este operador debe ser ilimitado.

Answer 2

No, no necesariamente.

Por categoría de Baire, el lineal lapso de $\{\varphi_i\}$ no $H$. Así podemos extender $\{\varphi_i\}$ a una base de Hamel para $H$ mediante la adición de algunos de los más vectores $\{\psi_j\}_{j \in J}$ (usando el lema de Zorn). La fijación de cualquier valor distinto de cero $x \in H$ y cualquier $j_0 \in J$, puedo definir un operador $T$ por $T \varphi_i = 0$, $T \psi_{j_0} = x$, $T \psi_j = 0$ para $j \ne j_0$. A continuación, $T$ sin duda tiene la condición de que usted solicita, pero afirman $T$ no está acotada, es decir, no continuo. Es un estándar de hecho de la topología de que dos continuo de los mapas que de acuerdo sobre un subconjunto de un espacio debe estar de acuerdo en todas partes. $T$ está de acuerdo con el operador cero en la densa subpace se extendió por $\{\varphi_i\}$, pero no es idéntica a cero, por lo que no puede ser continua.