Si $G$ es un finito semi-grupo e $\forall x,y,z \in G: xy=yz \implies x=z$ $G$ es un grupo Abelian.
No tengo idea de por donde empezar. Estoy atascado! Yo no puedo demostrar la existencia del elemento de identidad :|
Respuesta
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Escoger un elemento $y$ de su semigroup y considerar las sucesivas potencias $y, y^2, y^3, \dots$. Por la finitud, hay, finalmente, una repetición, es decir, los números de $1 \le m < n$$y^m = y^n$. La cancelación de la regla nos permite cancelar apagado $y$s de conseguir finalmente una $y = y^k$ algunos $k>1$.
Para cualquier $x$$G$, $yxy^k = yxy$ desde $y^k = y$. Cancelar fuera un $y$ desde la derecha de la izquierda y de la izquierda de la derecha para obtener $yxy^{k-1} = xy$. Ahora cancelar $y$s desde el otro lado para llegar a $xy^{k-1} = x$. Del mismo modo, $y^{k-1}x = x$. Esto nos da que existe un elemento de identidad, es decir,$y^{k-1}$. Escribir $e = y^{k-1}$. Dado que este es un poder de $y$, por lo que automáticamente se tiene que $y$ tiene una inversa, es decir, $y^{k-2}$ (si $k=2$, $y$ es la identidad, por lo que es su propia inversa).
La identidad es única: si existen elementos de $e,f$ tal que $ex = xe = x$ $xf = fx = x$ todos los $x$,$e = ef = f$. Así podemos realizar el proceso anterior para encontrar la inversa de cualquier elemento de $G$; esto significa que tenemos un grupo.
Finalmente, para cualquier $x,y$$G$,$xyy^{-1} = y^{-1}yx$, por lo que la cancelación de $y^{-1}$, obtenemos $xy = yx$, lo $G$ es abelian.
