Si $X$ es normal y $A$ $F_{\sigma}$en $X$, $A$ es normal. ¿Cómo podría yo demostrar este teorema?

Question

Un espacio topológico $X$ es un espacio normal si, dado cualquier distintos conjuntos cerrados $E$$F$, hay barrios $U$ $E$ $V$ $F$ que son también distintos. (O de forma más intuitiva, esta condición se dice que $E$ $F$ pueden ser separados por los barrios.) Y un $F_{\sigma}$-set es una contables de la unión de conjuntos cerrados.

Por lo que debe ser capaz de demostrar que el $F_{\sigma}$-tiene las condiciones necesarias para una $T_4$ espacio? Pero, ¿cómo podría yo por ejemplo seleccionar dos distintos conjuntos cerrados de $F_{\sigma}$?

Answer 1

$\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}}$Que puede realmente ser más. Deje $X$ $T_4$- espacio, y dejan $A$ $F_\sigma$en $X$; si $H$ $K$ son distintos, relativamente cerrado subconjuntos de a $A$, entonces existen abiertos disjuntos conjuntos de $U$ $V$ $X$ (no sólo en $A$) tal que $H\subseteq U$ $K\subseteq V$.

Una prueba de esto es muy similar a la habitual en escalar una chimenea de' la prueba de que un regular, Lindelöf espacio es normal.

Prueba: Hay conjuntos cerrados $F_n\subseteq X$ $n\in\Bbb N$ tal que $A=\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n$, e $F_n\subseteq F_{n+1}$ por cada $n\in\Bbb N$. Tenga en cuenta que $H\cap\cl_XK=\varnothing=K\cap\cl_XH$.

Para $n\in\Bbb N$ deje $H_n=H\cap F_n$$K_n=K\cap F_n$; los conjuntos de $H_n$ $K_n$ están cerrados en $X$. (Para ver esto, observe que $H_n=H\cap F_n=(\cl_XH\cap A)\cap F_n=\cl_XH\cap(A\cap F_n)=\cl_XH\cap F_n$, lo cual es claramente cerrado en $X$, y del mismo modo para $K_n$.)

Ahora uso la normalidad de $X$ para llevar a cabo la recursivo de construcción de abrir conjuntos de $U_n$ $V_n$ $X$ $n\in\Bbb N$ tal forma que:

1. $H_0\subseteq U_0\subseteq\cl_XU_0\subseteq X\setminus\cl_XK$;
2. $K_0\subseteq V_0\subseteq\cl_XV_0\subseteq X\setminus(\cl_XH\cup\cl_XU_0)$;
3. $H_{n+1}\cup\cl_XU_n\subseteq U_{n+1}\subseteq\cl_XU_{n+1}\subseteq X\setminus(\cl_XK\cup\cl_XV_n)$ por cada $n\in\Bbb N$; y
4. $K_{n+1}\cup\cl_XV_n\subseteq V_{n+1}\subseteq\cl_XV_{n+1}\subseteq X\setminus(\cl_XH\cup\cl_XU_{n+1})$ por cada $n\in\Bbb N$.

(1) es posible debido a que $H_0$ $\cl_XK$ son distintos conjuntos cerrados en $X$. Entonces (2) es posible debido a que $K_0$ $\cl_XH\cup\cl_XU_0$ son distintos conjuntos cerrados en $X$: ya sabíamos que el $K_0\cap\cl_XH=\varnothing$, y por la construcción de $K_0\cap\cl_XU_0\subseteq\cl_XK\cap\cl_XU_0=\varnothing$. El argumento de que (3) y (4) puede ser llevado a cabo es un simple inducción.

Ahora vamos a $U=\bigcup_{n\in\Bbb N}U_n$$V=\bigcup_{n\in\Bbb N}V_n$; claramente $U$ $V$ están abiertas en $X$, $H\subseteq U$, y $K\subseteq V$; les dejo a ustedes la fácil comprobación de que $U\cap V=\varnothing$. $\dashv$

Answer 2

Comencemos con un lexema ( ver en el Engelking del libro):

Si $X$ $T_1$ espacio y para cada cerrado $F$ y cada abierto $W$ que contiene $F$ existe una secuencia $W_1$, $W_2$, ... de abrir los subconjuntos de a $X$ tal que $F\subset \cup_{i}W_i$ $cl(W_i)\subset W$ $i=$ 1, 2, ..., a continuación, el espacio $X$ es normal.

Supongamos $X$ es normal y $A = \cup_n F_n \subset X$$F_\sigma$$X$, donde todos los $F_n$ son subconjuntos cerrados de $X$. A continuación, $A$ es normal (en la topología de subespacio). Para aplicar el lema, vamos a $F$ ser cerrado en $A$ $W$ ser un superconjunto de la misma (en $A$). Deje $O$ ser abierta en $X$ tal que $O \cap A = W$, y tenga en cuenta que cada una de las $F \cap F_n$ es cerrado en $X$ y por la normalidad de $X$ hay subconjuntos $O_n$ $X$ $n \in \mathbb{N}$ tal que $$ F \cap F_n \subset O_n \subset \overline{O_n} \subset O $$ and define $W_n = O_n \cap a$, which are open in $$ and satisfy that the $W_n$ cover $F$ (as each $W_n$ covers $F_n$ y $F = F \cap A = \cup_n (F \cap F_n)$) y el cierre de $W_n$ $A$ es igual a $$\overline{W_n} \cap A = \overline{O_n \cap A} \cap A \subset O \cap A = W$$ que es lo que se necesita para el lexema.