Son los locales los anillos en los puntos de curva de una irreductible variedad isomorfos?

Question

Si es malo, ¿qué pensar entonces de restringir las variedades a las lisas?

Con el fin de investigar que también me preguntó si Aut(X) siempre actúa transitivamente sobre una variedad proyectiva X. Pero no sé cómo demostrar/refutar esta bien... Esta última pregunta también es una cosa que me quieras preguntar en este post.

Answer 1

Como PseudoNeo observa, el grupo de automorfismos de una superficie de Riemann compacta (es decir, la suave curva proyectiva sobre $\mathbb{C}$) de género $> 1$ es siempre finito (y el orden, de hecho, puede ser acotada). Esto implica que el local anillos son, genéricamente hablando, no isomorfos. De hecho, si $C$ es una curva, y $p,q$ dos puntos tales que $\mathcal{O}_{C, p} \simeq \mathcal{O}_{C, q}$ $\mathbb{C}$- álgebras, a continuación, los asociados isomorfismo $\mathrm{Spec} \mathcal{O}_{C, p} \simeq \mathrm{Spec} \mathcal{O}_{C, q}$ (que se extiende automáticamente a un birational mapa de $C \dashrightarrow C$ de los que tomaron $p$$q$) se extiende a un isomorfismo de $C$ con la misma, porque el $C$ es un suave y proyectiva de la curva (a ver que un birational mapa entre las suaves curvas proyectivas es un isomorfismo, uno puede usar el valuative criterio). De ello se sigue que si $p$ es un punto fijo de la curva, entonces hay sólo un número finito de puntos de $q$ tal que $\mathcal{O}_{C, p} \simeq \mathcal{O}_{C, q}$.

La intuición es que el anillo local en un punto en una variedad algebraica (a diferencia del caso con suave colectores o analítica de los espacios, por ejemplo) no es realmente un local invariante en el que recuerda demasiado acerca de la variedad: por ejemplo, es suficiente para reconstruir la variedad hasta birational de equivalencia. Esta es una de las razones por las que el algebraicas proceso de finalización es a veces más importante. Cuando uno completa el anillo local en un punto suave en una variedad algebraica, se obtiene una potencia de la serie ring en $\mathbb{C}$, por lo que el término sólo se acuerda de la dimensión de la variedad.

Answer 2

No es cierto que Aut(X) actúa transitivamente. Es por ejemplo falsa para todas las superficies de Riemann de género > 1, como el automorphism grupo entonces es finito.