La proyección en el espacio en $L^2([0,1])$ da la longitud más corta

Question

Deje $f_1,f_2,\ldots,f_n\in L^2([0,1])$, y deje $V$ el valor de sus lapsos. Deje $P:L^2([0,1])\rightarrow V$ ser la proyección en $V$.

Deje $g\in L^2([0,1])$. Supongamos también que $g\in L^p([0,1])$ algunos $1\leq p<\infty$. Es cierto siempre que $\|Pg\|_p\leq\|g\|_p$?

Answer 1

La respuesta es no.

Que parece ser una exageración, pero podemos usar el hecho de que $||f||_p \to ||f||_\infty$ $p\to \infty$ $||f||_p \leq ||f||_q$ si $p \leq q$. Si podemos encontrar la $g\in L^2(0,1)$ tal que $||Pg||_\infty > ||g||_\infty$, $p$ lo suficientemente grande, tenemos $||Pg||_p > ||g||_p$.

He intentado $g = \chi_{[0,1/2]}$, $h= g+ 2\chi_{[23/24, 1]}$ y proyecto $g$ a $h$:

$$Pg= \frac{\langle g, h\rangle}{||h||^2_2}h$$

y parece que tenemos la $||Pg||_\infty = 3/2> ||g||_\infty.$