Muestran que el valor de la media de la fórmula, yo.e $u(0) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(r \exp(i\theta))\,d\theta$, sigue siendo válido para $u = \log|z+1|, r = 1$, y utilizar este hecho para calcular $\int_0^\pi \log(\sin(\theta))\,d\theta$.
Está claro que $u(z) = \log|z+1|$ es armónica mientras $|z| < 1$. También se $u(z)$ está bien definido para $|z|=1, z\ne -1$. Esto significa que $u(0) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(r\exp(i\theta))\,d\theta \,\,\,\forall r \lt 1$. Debido a $r$ puede ser elegido arbitrariamente cercano a 1, es esto suficiente para concluir la validez del valor medio de la fórmula, incluso para $r = 1$?
$u(\exp(i\theta))= \log(2|\cos\frac{\theta}{2}|)$. Asumiendo la validez de $r=1$, I se $u(0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}(\log2 + \log|\cos(\frac{\theta}{2})|)\,d\theta$. Pero $u(0)=0$, y a partir de la última integral que finalmente consigue $\int_0^{\pi}\log|\cos(\theta)|\,d\theta = -\pi \log(2)$. Sin embargo, si utilizo $u(z) = \log|z-1|$, el resultado deseado $\int_0^{\pi}\log\,\sin(\theta)\,d\theta = -\pi \log(2)$ es obtenido.
Se me ocurre que tanto las integrales debería evaluar a un mismo valor de $-\pi \log(2)$ porque $|\cos(\theta)|$ $\sin(\theta)$ de intervalo de la misma área en $0\le\theta\le\pi$. Sin embargo, he verificado a partir de http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=8ab70731b1553f17c11a3bbc87e0b605 y evalúa $\int_0^{\pi}\log|\cos(\theta)|\,d\theta = -\pi \log(2) + i\epsilon$ donde $epsilon$ es muy pequeña. Es correcto esto y me estoy perdiendo algún punto importante?
Gracias de antemano.
