¿Es posible tomar un derivado de una hipergeométrica función w.r.t. uno de sus parámetros y expresarlo en una forma cerrada?
Me interesa particularmente en este caso: $$\large\left[\frac{d}{da}{_2F_1}\left(1/2,\,a;\,3/2;\,-1\right)\right]_{a=2}$ $
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En general la respuesta es no.
En el caso que nos ocupa, sin embargo, los parámetros son especiales y esto se hace posible. Uno puede utilizar, por ejemplo, el estándar de la representación integral de la función hipergeométrica para mostrar que \begin{align} _2F_1\left(\frac12,a,\frac32,-1\right)=\frac12\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{t}\left(1+t\right)^{a}}, \end{align} que a su vez los rendimientos \begin{align} \mathcal{I}=\left[\frac{d}{da} {}_2F_1\left(\frac12,a,\frac32,-1\right)\right]_{a=2}= -\frac12\int_0^1\frac{\ln\left(1+t\right)dt}{\sqrt{t}\left(1+t\right)^{2}}. \end{align} La última integral se puede expresar en términos de dilogarithms (por ejemplo, después del cambio de las variables de $t=s^2$): \begin{align} \mathcal{I}&=-\int_0^1\frac{\ln\left(1+s^2\right)ds}{\left(1+s^2\right)^2}=\\&= \frac{\pi}{8}\left[1-3\ln 2 +\ln\left(2+\sqrt{2}\right)\right]-\frac{1+\ln 2}{4}+\Im\left(\operatorname{Li}_2\left(-e^{i\pi/4}\right)-\operatorname{Li}_2\left(1-e^{i\pi/4}\right)\right)=\\ &=\frac{\pi\left(1-2\ln 2\right)}{8}-\frac{1+\ln 2}{4}+\frac12 \Im\operatorname{Li}_2\left(i\right)=\\ &=\frac{G}{2}+\frac{\pi\left(1-2\ln 2\right)}{8}-\frac{1+\ln 2}{4}, \end{align} donde $G$ denota el catalán es constante.
