Deje $S$ ser un esquema. Deje $Z = X\times_S Y$ ser el producto de $S$-esquemas. Deje $f \colon X \rightarrow S, g\colon Y \rightarrow S, h\colon Z \rightarrow S$ ser la estructura de morfismos. A continuación,$h(Z) = f(X) \cap g(Y)$?
Respuesta
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Sí.
Prueba: Ciertamente, desde que el mapa $h$ factores tanto a través de $f$$g$, tenemos una inclusión $h(Z) \subset f(X) \cap g(Y)$. Por otro lado, supongamos que $s \in f(X) \cap g(Y).$, a Continuación, la fibra de $Z$ $s$ es igual al producto de las fibras de $X_s$$Y_s$$\kappa(s)$. Cada una de estas fibras es no-vacío, por supuesto, y por lo tanto, por lo que hay de fibra de producto.
Aquí está una más concreta argumento (es sólo una variación de la prueba de que un producto de la no-vacío esquemas sobre un campo no está vacío): Existe $x \in X$ la asignación a $s$, y también se $y \in Y$ la asignación a $s$, por lo que tenemos mapas de residuos campos de $\kappa(s) \hookrightarrow \kappa(x)$$\kappa(s) \hookrightarrow \kappa(y)$. Ahora elegir cualquier ideal maximal $\mathfrak m$$\kappa(x)\otimes_{\kappa(s)}\kappa(y)$, con residuo de campo $\Omega,$ decir. A continuación, los mapas de $\kappa(x), \kappa(y) \to \Omega$ inducir un mapa Espec $\Omega \to X \times_S Y$, y la imagen es un punto de $z \in Z$ tal que $h(z) = s$. Tenemos así la deseada igualdad. QED
