Un contraejemplo para el supremum de los tiempos de parada

Question

Deje $\mathbb{F} = \{ \mathcal{F}_t \}_{t \geq 0}$ ser continua y un tiempo de filtracion. $\tau : \Omega \to [0, \infty]$ es llamado un $\mathbb{F}$-tiempo de paro de la si $\{ \tau \leq t \} \in \mathcal{F}_t$ todos los $t\geq 0$.

Vamos $\tau_n$, $n \geq 1$ ser $\mathbb{F}$-los tiempos de parada. Sabemos que $sup_{n \geq 1} \tau_n$ $\mathbb{F}$- tiempo de parada. Quiero encontrar un contraejemplo tal que $\tau_i$, $i \in I$ (donde $I$ es incontable) ser $\mathbb{F}$-los tiempos de parada, sino $sup_{i \in I} \tau_i$ no es un $\mathbb{F}$-tiempo de parada. Alguna idea?

Answer 1

Deje que el espacio muestral ser $[0,1]$ y dejar que cada elemento de la filtración de ser el borel $\sigma-algebra$. Deje $I$ ser algunos que no se pueden medir subconjunto y $\tau_x=\mathbb{1}(x), x\in [0,1]$. A continuación, $\{\tau_x<t\}$ es el complemento de un singleton para $x\le 1$ $[0,1]$ lo contrario, por lo que pertenece a cada una de las $F_t$, pero $\{sup_{x\in I}\tau_x<t\}=\cap_{x\in I}\{\tau_x <t\}=\cap_{x\in I}\bar{x}=\bar{I}$ no es medible por $t< 1$ (pero es medible de veces mayor que 1).