Yo estaba estudiando la prueba de que el acotamiento teorema de funciones continuas en un intervalo cerrado desde Apostol de Cálculo del Volumen 1. Soy incapaz de entender un paso crucial en la prueba.
Primero el teorema de :- "Si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado [$a,b$] entonces es acotada en dicho intervalo "
La prueba siempre es como sigue:-
"Supongamos que $f$ es no acotada en el intervalo [$a,b$]. Deje $c$ ser el punto medio de [$a,b$] . $f$ será ilimitado en al menos uno de los dos intervalos [$a,c$] y [$c,b$] . Elegimos el intervalo en el que está acotada (en caso de ser ilimitada, en tanto, se elige el intervalo de izquierda). Llamamos a este intervalo como [$a_1,b_1$].
Este proceso de interseccion se lleva a cabo de forma indefinida, de modo que el intervalo [$a_{n+1},b_{n+1}$] indica que la mitad de los [$a_n,b_n$] en el que $f$ es ilimitado. En el caso de que es ilimitado en dos mitades, la mitad izquierda de la seleccionada.
La longitud de la $n$th intervalo es $(b-a)/2^n$.
Deje $A$ denota el conjunto de la izquierda extremos de $a,a_1,a_2,a_3...$ así obtenido. Deje $\alpha$ denotar el supremum de $A$. A continuación, $\alpha$ se encuentra en $[a,b]$.
Desde $f$ es continua en a $\alpha$ , existe un $\delta > 0 $ tal que
$$ |f(x)| < 1 + |f(\alpha)| $$ en el intervalo de $(\alpha -\delta,\alpha + \delta)$ (En caso de $\alpha = a$ , el intervalo debe ser $[a,a + \delta)$. En el caso de $\alpha = b$ , el intervalo debe ser $(b - \delta,b]$.)
Sin embargo , el intervalo [$a_n,b_n$] se encuentra dentro del intervalo de $(\alpha -\delta,\alpha + \delta)$, siempre $(b-a)/2^n < \delta$.
Por lo tanto, f es acotada en $(b-a)/2^n$ , lo cual es una contradicción , por lo tanto completar la prueba.
"
Mi problema es que soy incapaz de entender cómo se garantiza que el intervalo [$a_n,b_n$] se encuentra dentro del intervalo de $(\alpha -\delta,\alpha + \delta)$. Puedo entender un poco (pero no demasiado seguro de ello)que si un punto cualquiera de [$a_n,b_n$] se encuentra dentro del intervalo de $(\alpha -\delta,\alpha + \delta)$ , entonces se garantiza que todo el intervalo se encuentra dentro de $(\alpha -\delta,\alpha + \delta)$ , ya que la longitud es menor que $\delta$. Pero, ¿cómo se garantiza que al menos un punto se encuentra dentro de $(\alpha -\delta,\alpha + \delta)$. Creo que es algo que ver con la manera en que los intervalos seleccionados. Pero soy incapaz de vincular los dos aspectos cruciales de la prueba.
También soy incapaz de visualizar por qué elegimos la izquierda intervalo cuando ambos intervalos son tales que $f$ es ilimitado sobre ellos.
Gracias.
