Supongamos que tenemos una función armónica $f$ tal que $e^f$ también es armónico. Quiero demostrar $f$ es holomorfo o antiholomorfo.
Intenté utilizar el hecho de que $\Delta u= 4\partial_z(\partial_{\overline{z}} u)=0$ pero no llegué a ninguna parte con eso y asumí que no implica $\partial_{\overline{z}}=0$ o $\partial_z =0$ .
En realidad tengo el mismo problema pero con $f^2$ en lugar de $e^f$ y supongo que es similar, así que espero poder hacer una sabiendo hacer la otra.
Dejemos que $D \subset \Bbb C$ sea un dominio y $f: D \to \Bbb C$ una función con derivadas continuas hasta el orden $2$ . $\exp$ es holomorfo, es decir $\partial_{\overline{z}} e^z = 0$ , por lo tanto el regla de la cadena para las derivadas de Wirtinger da $$ \partial_z (e^f) = e^f \partial_z f \, ,\\ \partial_{\overline{z}} (e^f) = e^f \partial_{\overline{z}}f \, . $$
De ello se desprende que $$ \Delta e^f= 4\partial_z(\partial_{\overline{z}} e^f) = 4\partial_z( e^f \partial_{\overline{z}} f) = 4 \left(e^f (\partial_z f)(\partial_{\overline{z}} f) + e^f \partial_z(\partial_{\overline{z}} f \right) = 4 e^f (\partial_z f)(\partial_{\overline{z}} f) + e^f \Delta f \, . $$ En particular, si $f$ y $e^f$ son armónicos entonces $$ (\partial_z f(z))(\partial_{\overline{z}} f(z)) = 0 $$ para todos $z \in D$ . Ambos $\partial_z f(z)$ y $\partial_{\overline{z}} f$ son armónicos en $D$ Por lo tanto, uno de ellos debe ser idénticamente cero en $D$ (ver por ejemplo producto de funciones armónicas ), lo que significa que $f$ es antiholomorfo u holomorfo.
El mismo enfoque funciona si $f$ y $f^2$ son armónicos, o incluso para $f$ y $\phi \circ f$ , si $\phi$ es holomorfo en $\Bbb C$ y no lineal.
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