Clasificación de la finitud de los Grupos de Rotación - Problema de comprensión de la prueba

Question

Estoy trabajando a través de una prueba de la clasificación de la finitud de los grupos de rotación en el Espacio Euclidiano (es decir, finito subgrupos de $SO_3$) y no estoy en la comprensión de un paso en particular. Mi prueba es de M. A. Armstrong, de Grupos y Simetría en caso de que alguien la tiene a su disposición, pero el paso en particular estoy luchando también se ejecuta de la misma manera en este documento.

En el caso (d) (icosaédrica caso - parte inferior de la página 14 en el PDF enlazado aquí y la parte inferior de la p.108 / superior de la p.110 en el caso Armstrong), se afirma que podemos encontrar $u,v$ en la órbita de $z$ de manera tal que el siguiente se tiene:

$ 0 < \lVert z -u \rVert < \lVert z -v \rVert < 2. $

Ahora está claro que el único punto con distancia$2$$z$$-z$, pero lo que yo no entiendo es por qué todos los puntos en $G(z) \setminus \{z,-z\}$ no puede tener la misma distancia de a $z$. ¿Alguien puede aclarar?

Answer 1

No he leído todo lo que hasta ese momento, y puede ser que me he perdido algo más sencillo. Porque me he concentrado en tal caso, sólo estoy de acuerdo con usted en que el punto le preocupa no es plenamente justificado allí.

Pero, con la ayuda del texto que lo rodea, no es demasiado difícil llegar a un argumento cerrar esta brecha:

• En este caso la órbita $G(z)$ tiene 12 puntos y el estabilizador $G_z$ $z$ es cíclico de orden cinco, generados por $g$. Las órbitas de $G_z$ debe tener órdenes de uno o cinco. Por lo tanto, el 12 poinst debe ser dividida en dos órbitas de tamaño de cinco y dos de tamaño uno. El último órbitas deben ser$z$$-z$, porque son los únicos puntos fijos de $g$.
• Los puntos en los 5 puntos órbitas $G_z(u)$ $G_z(v)$ son todos equidistante de ambos $z$ $-z$ debido a que se incorporan a partir de la rotación de la esfera sobre el eje de$z$$-z$.
• Debido a $-z$ está en la órbita $G(z)$ existe un elemento $\pi\in G$ tal que $-z=\pi(z)$. Debido a que los puntos de $G_z(u)$ son equidistantes de $z$, los puntos en $\pi(G_z(u))$ debe ser equidistante de $-z=\pi(z)$. Por la viñeta anterior debemos tener $\pi(G_z(u))=G_z(u)$ o $G_z(v)$.
• Si todos los diez puntos en $G_z(u)\cup G_z(v)$ estaban a la misma distancia de a $z$, entonces, por la viñeta anterior, todos aquellos diez puntos, debe recaer en el ecuador correspondiente al eje de $g$. IOW $||z-u||=\sqrt2$ todos los $u\neq\pm z$.
• Pero, a continuación, algunos de los pares de puntos dentro de los diez estaría más cerca de uno al otro que a $z$ (la longitud de la línea del ecuador, dividido por diez es menor que la longitud de cuarto de círculo a lo largo de un meridiano desde el polo al ecuador). Esta es una contradicción, porque la distancia al vecino más cercano es el mismo para todos los puntos de la órbita.