Valor de $a^2 + b^2$ $a^3 - 3ab^2 = 44$ $b^3 - 3a^2 b = 8$

Question

Si $a$ $b$ son números reales tales que a $a^3-3ab^2=44$ $b^3-3a^2b=8$ ¿cuál es el valor de $a^2+b^2$? He intentado sumando y restando las ecuaciones, pero no puede encontrar cualquier cosa.

Answer 1

Aviso de $$(a+ib)^3 = (a^3-3ab^2) + (3a^2b-b^3)i = 44-8i$$ Multiplicar ambos lados por sus complejos conjugados, uno encontrar $$(a^2+b^2)^3 = 44^2 + 8^2 = 2000\quad\implica\quad a^2 + b^2 = \sqrt[3]{2000} = 10\sqrt[3]{2}$$

Actualización

Si uno realmente quiere ocultar el uso de los números complejos, se puede tomar los cuadrados de ambas condiciones, la suma de ellos y luego emplear el familiar $1,3,3,1$ patrón para factorizar el resultado.

$$\begin{array}{rllll} (a^3 - 3ab^2)^2 &= a^6 &- 6a^4b^2 &+ 9a^2b^4 & &= 44^2\\ (b^3 - 3a^2b)^2 &= &+ 9a^4b^2 &- 6a^2b^4 &+ b^6 &= 8^2\\ \end{de la matriz}\\ \Downarrow \rlap{\color{color gris}{\leftarrow\text{ suma de las 2 ecuaciones }}}\\ a^6 + 3a^4b^2 + 3a^2b^4 + b^6 = 44^2+8^2 = 2000\\ \Downarrow \rlap{\color{color gris}{\leftarrow\text{ use el 1, 3, 3, 1 patrón en LHS }}}\\ (a^2 + b^2)^3 = 2000\\ \Downarrow\\ (a^2 + b^2 ) = \sqrt[3]{2000} = 10\sqrt[3]{2}$$