Pregunta de la demostración del Teorema de los números primos

Question

Mi pregunta es bastante trivial, pero quería preguntar sobre algo que no veo en absoluto.

En la prueba de la PNT suministrada en estas notas se afirma que cuando $|t| \ge 2$ $$O(\log^9(|t|)/|t|^2)=O(|t|^{-3/2})$$ en la página 39. No entiendo por qué. Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Se puede demostrar mediante la regla de l'Hopital que $$\frac{\log^9(|t|)}{|t|^{1/2}} \to 0$$ como $|t| \to \infty$ .

Esto significa que $\log^9(|t|) = o(|t|^{1/2}) = O(|t|^{1/2})$ . Por lo tanto $$\frac{\log^9(|t|)}{|t|^2} \le C \frac{|t|^{1/2}}{|t|^{2}} = C \frac{1}{|t|^{3/2}}.$$

Answer 2

Tenemos $\log (|t|)=O(|t|^{1/18})$ de modo que $$ \frac{\log^9 (|t|)}{|t|^2}= O\left(\frac{|t|^{1/2}}{|t|^2}\right)=O(|t|^{-3/2}). $$