Una función medible finita en todas partes $f$ satisface $\int |g \circ f|<\infty$ para todo continuo $g$ entonces $||f||_\infty<\infty$

Question

Una función medible finita en todas partes $f$ en un espacio de medidas $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ tal que para toda función continua $g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ la composición $g\circ f$ es integrable, entonces la función $f$ debe ser integrable respecto a $|| \cdot||_\infty$ es decir $f$ debe cumplir $||f||_\infty<\infty$ .

Mi opinión es que $f(\Omega)$ debe estar limitada en $\mathbb{R}$ pero no tengo ni idea.

Answer 1

Supongamos que $\Vert f \Vert_\infty = \infty$ .

Por comodidad, asumo que $f$ no está esencialmente acotada por encima. Si $f$ no está esencialmente acotada por debajo, hay que modificar ligeramente el argumento.

Por lo tanto, existe una secuencia $(n_k)_k$ de números naturales con $n_{k+1} \geq n_k +3$ para todos $k$ y $a_k := \mu(\{x \mid f(x) \in [n_k, n_k+1]\}) > 0$ para todos $k$ (¡demuéstralo!).

Elija ahora una función continua $g \geq 0$ con $g|_{[n_k, n_k+1]} \geq c_k$ donde $a_k \cdot c_k \geq 1$ (¿por qué existe tal función $g$ ?).

Demuestra que $\int |g \circ f| \geq \sum_k c_k a_k = \infty$ una contradicción.