$f :\mathbb N \to \mathbb R$ ser la función de $f(0)=0 , f(n)=\dfrac 1 n , \forall n >0$;es $\mathbb N$ inducida con la métrica $|f(x)-f(y)|$ compact?

Question

Deje $\mathbb N$ el conjunto de enteros no negativos y $f :\mathbb N \to \mathbb R$ ser la función de $f(0)=0 , f(n)=\dfrac 1 n , \forall n >0$ , entonces obviamente $f$ es inyectiva , por lo $d : \mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb R $ define como $d(x,y)=|f(x)-f(y)|$ induce una métrica en $\mathbb N$ . Entonces , ¿es cierto que $(\mathbb N , d)$ es compacto ?

Answer 1

Por construcción, $(\mathbb{N}, d)$ es isométrico para el subespacio $\{\frac{1}{n} \mathrel{|} n > 0\} \cup \{0\}$ $\mathbb{R}$ con la métrica usual. Este subespacio es cerrado y acotado y por lo tanto compacto por el Heine-Borel teorema.

Answer 2

Sí lo es, porque es secuencialmente compacto: Deje $x_n$ ser una secuencia en $\mathbb{N}$. Caso 1: se toma un número finito de valores. A continuación, hay una constante que se larga que obviamente tiene un límite en $\mathbb{N}$. Caso 2: se toma un número infinito de valores. Entonces es estrictamente creciente(en el sentido usual de la palabra) larga. Esta larga ha de converger a $0$ con respecto a la métrica.

Answer 3

Suponga que el espacio está cubierto con bloques abiertos $U_i$, $i\in I$. A continuación, $0$ debe estar en uno de estos conjuntos, por lo que debe ser un conjunto abierto V entre las $U_i$ cotaining $0$. Así podemos encontrar un número natural $m$ s.t $0 \in B(0, 1/m) \subset V$ donde $B$ es la bola abierta en este espacio. Ahora los números de $\{m+1, m+2, \dots\}$ están en esta pelota. Tome $V$ y el abierto de los conjuntos de la colección de $U_i$ con los números hasta $m$ y tiene un número finito de la cubierta.

Answer 4

Tome $m\in \Bbb N$. Ahora, observa que el conjunto de los números $$\left\{\left|\frac1m-\frac{1}{x}\right|:x\in\Bbb N\right\}$$ está acotado abajo por $l_m = \left|\frac1m-\frac{1}{m+1}\right|$. Sabiendo esto, tomando cualquier $\varepsilon <l_m$, obtenemos $$B_\varepsilon(m) = m$$

Por lo tanto, el espacio es discreto y el infinito, por lo que no puede ser compacto.

Edit: no me di cuenta de que $0$ fue incluido en $\Bbb N$ en este caso, para los que falla el anterior. Lo que es más, en otras respuestas se puede observar que la presencia de $0$ es exactamente lo que hace que el espacio compacto.