Demostrando la secuencia es convergente

Question

Considere la posibilidad de una secuencia $\{x_n\}$$S$. Donde $S$ es un subespacio métrico. Dado que cada convergente larga de $\{x_{k(n)}\}$ converge al mismo punto de decir $x$. Probar que si S es compacto, muestran que $\{x_n\}$ converge a $x$. Es mi respuesta correcta?

Answer 1

Cada una de las subsiguientes converge al mismo punto, si S es compacto y por lo tanto todos los subsequence son converge y convergen en el mismo puntos y por lo tanto la secuencia también convergente a x. Es la prueba válida?

Answer 2

Voy a asumir que estamos en un espacio métrico con la métrica $d$.

Supongamos $\{x_n\}$ no converge a $x$. A continuación, $\exists \, \epsilon > 0$ y una secuencia de enteros positivos $m_1,m_2,\ldots$ tal que $d(x, x_{m_i})\geq \epsilon$ para todos los enteros positivos $i$. La secuencia de $\{ x_{m_i}\}$ tiene un convergentes larga debido a $S$ es compacto. Esta larga converge a $x$, pero eso es una contradicción, porque no hay término de esta larga es dentro de$\epsilon$$x$.