Definición de la categoría de grupo de representaciones

Question

Normalmente se considera que la categoría de complejos lineales grupo de representaciones de un grupo fijo $G$. Se define como la categoría cuyos objetos son un grupo morfismos $G \rightarrow GL(V)$ donde $V$ es un espacio vectorial complejo y cuyos morfismos son $G$-equivariant lineal de los mapas (de manera equivalente, es la categoría de functors $Vect_\mathbb{C}^G$).

Mi pregunta es: ¿se puede considerar una categoría de grupo de representaciones donde el grupo está permitido cambiar?

Me gustaría tener la tentación de definir de la siguiente manera. Los objetos sería triples $(V, G, \pi: G \rightarrow GL(V))$ y morfismos $\big(V, G, \pi: G \rightarrow GL(V)\big) \xrightarrow{\Phi} \big(V', G', \pi': G' \rightarrow GL(V')\big)$ sería pares de $\Phi:=(\phi, \alpha)$ donde $\phi$ es lineal en el mapa de $V$ $V'$ $\alpha$es un grupo de morfismos de $G$ $G'$de manera tal que la siguiente propiedad está satisfecho: $$\forall g \in G, \pi'(\alpha(g)) \circ \phi= \phi \circ \pi(g)$$

¿Esta definición de sentido? Si sí, ¿por qué es esta categoría nunca se considera?

Answer 1

El Grothendieck construcción (véase e. g. wikipedia para empezar) es la siguiente:

Deje $C$ ser de cualquier categoría y $F \colon C \to \def\Cat{\mathsf{Cat}}\Cat$ un functor. El Grothendieck construcción para $F$ es el siguiente categoría $\Gamma(F)$:

• Los objetos de $\Gamma(F)$ son pares $(A, x)$ donde$A \in \def\Ob{\mathrm{Ob}}\Ob(C)$$x \in \Ob\bigl(F(A)\bigr)$.
• $\def\Hom{\mathrm{Hom}}$Morfismos $f\colon (A,x) \to (B,y)$ son pares $f = (f_0, f_1)$ donde$f_0 \in \Hom_C(A,B)$$f_1 \in \Hom_{F(B)}(F(f_0)x, y)$.
• Composición de $f \in \Hom{\Gamma(F)}((A,x), (B,y))$ $g \in \Hom_{\Gamma(F)}((B,y), (D,z))$ está dado por $$ (g_0, g_1) \circ (f_0, f_1) = (g_0 \circ_C f_0, g_1 \circ_{F(D)} F(g_0)f_1\bigr) $$

Su construcción es la Grothendieck construcción para el functor $F \colon \mathsf{Group}^{\rm op} \to \mathsf{Cat}$, $F(G) = [G, \def\V{\mathsf{Vect}_{\mathrm C}}\V]$, que envía un grupo a la categoría de sus representaciones.

Una de morfismos $f \colon (G, \pi) \to (G', \pi')$ en el Grothendieck de la construcción es un par $(\alpha, \tau)$ donde $\alpha \colon G \to G'$ es un grupo homomorphism y $\tau \colon F(\alpha)\pi \to \pi'$ es una transformación natural de functors $G' \to \V$. Tal transformación natural es (como $G'$ tiene un solo objeto), un $\V$-morfismos, que es lineal en el mapa.