Caracterizar la totalidad de las funciones de la satisfacción de $|f(z)|=(x^2+y^2)e^x$

Question

Claramente, $f(z)=z^2e^z$ es una dicha función. Supongamos $g$ es otra la función de satisfacer el criterio determinado, a continuación, $|f/g|=1$ al $z\neq0$. Quiero invocar el teorema de Liouville y la conclusión de todas estas funciones están dadas por $f(z)e^{i\theta}$ para cualquier número real fijo $\theta$. Desde $f$ $g$ son de entera y distinto de cero al $z\neq0$, la proporción $f/g$ es analítica en $\mathbb{C}-\{0\}$.

Creo que estoy en el camino correcto, pero no está seguro de cómo hacer que el argumento anterior preciso en el $z=0$.

Answer 1

No hay un estándar teorema que envía que si $D\subseteq \mathbb{C}$ está abierto, $z_0\in D$, $f$ es holomorphic en $D\backslash \{ z_0\}$ y limitado en un barrio que contengan $z_0$, luego esta singularidad es desmontable en el sentido de que no existe un único número complejo $f(z_0)$ tales que la función $$ \widetilde{f}(z)=\begin{cases}f(z_0) & \text{if }z=z_0 \\ f(z) & \text{otherwise}\end{casos} $$ definido en $D$ es holomorphic.

Este teorema se aplica aquí, así que $f/g$ tiene toda la extensión. Esta extensión es limitada, por lo tanto, una constante, por lo tanto $f/g$ es constante.

Tenga en cuenta que usted está utilizando el hecho de que la única ubicación posible que $g$ podría tener una raíz es $z=0$, por lo que el $f/g$ es automáticamente analítica en todas partes excepto en el origen.

EDIT: Ahh sí, por lo que evidentemente, esta norma de "teorema" tiene un nombre. Ver a Dylan Moreland comentario :)