Si $abc=1$ así que $\sum\limits_{cyc}\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq\frac{9}{\sqrt{a+b+c+15}}$

Question

Dejemos que $a$ , $b$ y $c$ sean números positivos tales que $abc=1$ . Demuestra que: $$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq\frac{9}{\sqrt{a+b+c+15}}$$

Parece bastante agradable.

Probé esta desigualdad con Holder, pero queda muy feo.

¿Tal vez haya algo bonito? Gracias.

Answer 1

$$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq\frac{9}{\sqrt{a+b+c+15}}\iff\sqrt{a+b+c+15}\left(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\right)\ge9$$
Hacer $c=\frac{1 } {ab}$ la expresión se convierte en $$f(a,b)= \left(\sqrt{\frac{a^2b}{ab^2+1}}+\sqrt{\frac{ab^2}{a^2b+1}}+\sqrt{\frac{1}{ab(a+b)}}\right)\sqrt{\frac{ab(a+b+15)+1}{ab}}\ge9$$ para todos los positivos $a,b$ .

De ello se desprende $$\sqrt{\frac{a^3b+a^2b^2+15a^2b+a}{ab^2+1}}+\sqrt{\frac{ab^3+a^2b^2+15ab^2+b}{a^2b+1}}+\frac{1}{ab}\sqrt{\frac{ab(a+b+15)+1}{a+b}} \ge9$$ Está claro que $f(x,y)$ no tiene ningún máximo y, para demostrar la desigualdad, queremos obtener el mínimo de $f(x,y)$ .

Este mínimo puede calcularse como habitualmente para dos variables ( $f_x(x,y)=0$ y $f_y(x,y)=0$ etc.).

Lo calculamos de la siguiente manera: ya que $f(a,b)=f(b,a)$ el mínimo de $f(a,b)$ es igual al mínimo de $f(a,a)$ donde $a\gt 0$ . Por lo tanto, calculamos el mínimo de la función de una variable $$f(x,x)=2\sqrt{\frac{2x^4+15x^3+x}{x^3+1}}+\frac{1}{x^2}\sqrt{\frac{2x^3+15x^2+1}{2x}}$$

El cálculo es sencillo aunque algo tedioso, ya que se obtiene el mínimo $9$ para $x=1$ . Para una mayor explicación, véase la figura siguiente en la que el cálculo (Wolfram) y el gráfico de la función (Desmos) confirman el resultado. Así, este mínimo se alcanza con $a = b = c = 1$ y la desigualdad propuesta es válida para todos los positivos con $abc=1$ .

Answer 2

Ponga la siguiente sustitución :

$\frac{a}{b+c}=x$$ \N - El escuadrón $$\frac{b}{a+c}=y$$ \N - El escuadrón $$\frac{c}{b+a}=z$

Obsérvese que :

$$a+b+c=((\frac{1}{x}+1)(\frac{1}{y}+1)(\frac{1}{z}+1))^{\frac{1}{3}}$$

Y :

$$abc=1 \iff -2=-\frac{1}{xyz}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$$

Así obtenemos la desigualdad relacionada con esto Publicar en que has demostrado por ti mismo con brío .