Estructuras casi complejas y multiplicación por $i$

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial real (de dimensión finita) con una estructura casi compleja $I$ , es decir, un endomorfismo $I:V\to V$ tal que $I^2=-\operatorname{id}$ . Consideremos la extensión por escalares $V_{\mathbb C}:=V\otimes_{\mathbb R}\mathbb C$ y la extensión por linealidad $I:V_{\mathbb C}\to V_{\mathbb C}$ (mantenemos el mismo nombre para $I$ sólo por comodidad). Ahora las siguientes cosas se mantienen:

1. Los valores propios de $I$ son $\pm i$ .
2. Si $V^{1,0}$ es el eigespacio de $i$ y $V^{0,1}$ es el eigespacio de $-i$ entonces $V^{1,0}\cong V^{0,1}$ . Además $V_{\mathbb C}=V^{1,0}\oplus V^{0,1}$

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Consideremos ahora el siguiente ejemplo: $V$ es un espacio vectorial real que también es un espacio vectorial complejo. Sobre su "estructura real'' consideramos el endomorfismo $v\mapsto i\cdot v$ . Esto define claramente una estructura casi compleja $I$ en $V$ pero el problema es que $1.$ y $2.$ parece ser falso. Es decir, aquí tenemos sólo un valor propio que es $i$ y $V_{\mathbb C}=V^{1,0}$ .

Dónde está mi error, probablemente estoy olvidando algo en la extensión por escalares $V_{\mathbb C}$ .

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Cpx}{\mathbf{C}}\newcommand{\Basis}{\mathbf{e}}$ Por ejemplo, tome $V = \Cpx^{m}$ y que $(\Basis_{j})_{j=1}^{m}$ denotan la base estándar (compleja). El correspondiente espacio vectorial de "escalares reales" es isomorfo a $\Reals^{2m}$ con base (real) $(\Basis_{j})_{j=1}^{m} \cup (i\Basis_{j})_{j=1}^{m}$ .

La complejización es (isomorfa a) $$ \Reals^{2m} \otimes_{\Reals} \Cpx = \Cpx^{2m}, $$ con complejo base $(\Basis_{j} \otimes 1)_{j=1}^{m} \cup (i\Basis_{j} \otimes 1)_{j=1}^{m}$ . La multiplicación escalar compleja actúa por $\beta(v \otimes\alpha) = v \otimes \alpha\beta$ por lo que la complejización tiene real base $$ (\Basis_{j} \otimes 1)_{j=1}^{m} \cup (i\Basis_{j} \otimes 1)_{j=1}^{m} \cup (\Basis_{j} \otimes i)_{j=1}^{m} \cup (i\Basis_{j} \otimes i)_{j=1}^{m}. $$ La compleja estructura $I$ actúa a través de $I(v \otimes \alpha) = iv \otimes \alpha$ . Los espacios $V^{1, 0}$ y $V^{0, 1}$ tienen las respectivas bases complejas $$ \Basis_{j}^{1, 0} = \tfrac{1}{2}(\Basis_{j} \otimes 1 - i\Basis_{j} \otimes i),\qquad \Basis_{j}^{0, 1} = \tfrac{1}{2}(\Basis_{j} \otimes 1 + i\Basis_{j} \otimes i). $$

Answer 2

Si se comienza con un espacio vectorial complejo $V$ y lo realicemos obtendremos un espacio vectorial real $V_0$ dotado de una estructura compleja que satisface $I(v_0)=(iv)_0$ , donde $v_0$ significa $v$ visto como un vector en $V_0$ .
Si se complejiza $V$ obtienes -¡sorpresa, sorpresa!- $$u: (V_0)_\mathbb C \stackrel {\cong}{\longrightarrow}V\oplus \overline V \quad (\bigstar)$$ donde $\overline V $ es el conjugado abstracto de $V$ lo que significa que $\overline V=V$ como grupos abelianos pero $i* v$ en $\overline V$ es igual a $-iv$ en $V$ .

El isomorfismo $u: (V_0)_\mathbb C \stackrel {\cong}{\longrightarrow} V\oplus \overline V $ viene dada por la fórmula $$u(v_0\otimes z)=(z\cdot v, \bar z\cdot v) \quad (\bigstar)$$ y es $ \mathbf C$ - lineal .
(Sin embargo, hay que tener en cuenta que no todos los vectores de $(V_0)_\mathbb C $ se puede escribir $v_0\otimes z$ : hay que tomar la suma $v_0\otimes 1+w_0\otimes i$ de dos de ellos)

Entonces tenemos (sin distinguir ya notativamente $v$ de $v_0$ ) $$(V_0)_\mathbb C^{1,0}=\{v\otimes 1-iv\otimes i\vert \:v\in V\},\quad (V_0)_\mathbb C^{0,1}=\{v\otimes 1+iv\otimes i\vert \:v\in V\}$$

La descomposición de $(V_0)_\mathbb C$ es $$(V_0)_\mathbb C=(V_0)_\mathbb C^{1,0}\oplus (V_0)_\mathbb C^{0,1}\\v\otimes 1+w\otimes i= [\frac {v+iw}{2}\otimes1-i\frac {v+iw}{2}\otimes i ]+[\frac {v-iw}{2}\otimes1+i\frac {v-iw}{2}\otimes i ]$$ y satisface $u[(V_0)_\mathbb C^{1,0}]=V\oplus0,\quad u[(V_0)_\mathbb C^{0,1}]=0 \oplus \overline V$