Las condiciones del Teorema de Taylor

Question

Estoy confundido en los supuestos detrás del Teorema de Taylor porque he encontrado diferentes versiones de los mismos a través de varios libros.

Considere la función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

(1) Si y sólo si $f$ es infinitamente muchas veces diferenciable en a $a$ me puede escribir $$f(x)=f(a)+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)(x-a)^k}{k!}$$ La correcta?

(2) Si y sólo si $f$ $n$ veces continuamente diferenciable en a $a$ (lo que implica que $f$ $n$ veces derivable en un barrio de $a$) puedo escribir $$f(x)=f(a)+\sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(a)(x-a)^k}{k!}+ o(||x-a||^n)$$ La correcta?

(3) Si y sólo si $f$ $n$ veces continuamente diferenciable en cada punto entre el $x$ $a$ puedo escribir $$f(x)=f(a)+\sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(a)(x-a)^k}{k!}+ \frac{f^{(n+1)}(c)(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}$$ para $c$ $x$ ans $a$. La correcta?

Mi confusión está relacionada, en particular, a la necesidad de condiciones.

Answer 1

Sospecho que usted necesita pensar más acerca de cuánto $C^\infty$ funciones pueden ser wilder de funciones analíticas.

(1) Falso. Un $C^\infty$ función no necesita ser fielmente representada por su potencia de la serie en un punto. Como @Chappers observa en un comentario, $\mathrm{e}^{-1/x^2}$ no está fielmente representada por su poder de serie en $0$. Por un poco más de discusión en este ejemplo, consulte ¿por Qué no la identidad teorema de holomorphic funciones de trabajo real para funciones diferenciables?.

(2) Falso. Deje $n$ ser dado, establecer $N > n$, y deje $H(x)$ (Heaviside) función de paso. Deje $g(x) =(1+H(x))^N - 1$. Integrar $g$ $n$ veces. El resultado es $n$ veces continuamente diferenciable, pero su error de estimación es desesperado. (Quieren violar más? Aumentar el $N$.) El término de error es todavía $h(x)(x-a)^k$$\lim_{x\rightarrow a} h(x) = 0$, por lo que el Peano forma de que el resto sigue funcionando.

(3) Probablemente falsa. Esta es la forma de Lagrange del resto término. Esto generalmente se indica con un adicional de hipótesis. Las hipótesis son " $f$ $k+1$ veces derivable en a $(x,a)$ $f^{(k)}$ es continua en a $[a,x]$. Sospecho que el ejemplo que he utilizado en (2) se puede adaptar para satisfacer las hipótesis que dar, pero no para satisfacer la hipótesis doy. Probablemente la necesidad de establecer el paso a la final del intervalo, pero los arreglos para que la $c$ necesario en la estimación del error.