Confuso sobre la representación compleja de la onda

Question

Mi mecánica cuántica libro de texto dice que la siguiente es una representación de una onda que viaja en la +$x$ dirección:$$\Psi(x,t)=Ae^{i\left(kx-\omega t\right)}\tag1$$

Estoy teniendo problemas para visualizar este debido a que la parte imaginaria. Puedo ver que (1) puede ser escrita como:$$\Psi(x,t)=A \left[\cos(kx-\omega t)+i\sin(kx-\omega t)\right]\tag2$$

Por lo tanto, parece que la parte real es, de hecho, una onda que viaja en la +$x$ dirección. Pero, ¿qué acerca de la parte imaginaria? La manera en que yo lo pienso de ella, una onda es una "cosa", pero la ecuación (2) no se corresponde perfectamente en mi concepción de la ola, debido a que la parte imaginaria. Si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre este tipo de representación, le agradecería.

Answer 1

Lo que si le dije que la ecuación de onda viene dada por:

$$\Psi(x,t)=A \cos(kx-\omega t)\tilde{i}+A\sin(kx-\omega t)\tag2\tilde{j}$$

donde $i$ $j$ representan los vectores unitarios en las direcciones x e y?

Si es así, usted podría pensar en la onda oscilante en dos dimensiones espaciales.

Ahora la ecuación de onda es de hecho en su lugar:

$$\Psi(x,t)=A\left[ \cos(kx-\omega t)+i\sin(kx-\omega t)\right]\tag2$$

Pero ¿cuál es la diferencia? En los vectores usted debe mantener el $i$ $j$ componentes por separado al hacer ecuaciones; del mismo modo, en los números complejos se resuelven ecuaciones de mantenimiento de real a partes iguales, y el complejo de partes iguales. Usted puede pensar así de la ecuación de onda en dos dimensiones, una dimensión real y una compleja dimensión.

En los vectores, se puede obtener el cuadrado de la magnitud por la adición de las plazas de la componente x y la y-componente.

$\text{Magnitude}^2 = a^2 + b^2$ si es la componente x y b es la intersección de los componentes de un vector.

Del mismo modo, para obtener el físicamente resultado significativo de la probabilidad de la mecánica cuántica de multiplicar la función de onda y su complejo conjugado:

$$\text{Probability density} = \Psi(x,t)\times\Psi^{\dagger}(x,t) = (a+bi)\times(a-bi) = a^2 + b^2$$ where $b$ is the complex part and $$ es la parte real de la función de onda. Así que la probabilidad es, efectivamente, el cuadrado de la magnitud de la "vector de onda", que tiene componentes en la dimensión real y la compleja dimensión.

Answer 2

La función de onda en sí no es una cosa "real". I. e. no es un observable cantidad. Lo "real" es la distribución de probabilidad que se asocia con la función de onda. La probabilidad de encontrar la partícula entre los puntos de $x=a$ $x=b$ (restringir a una dimensión de la simplicidad) está dada por:

$$P(a\leq x\leq b)=\int_a^b |\Psi|^2 \mathrm{d}x$$

donde $|\Psi|^2=\Psi^* \Psi $ $\Psi^*$ es la función de onda del complejo conjugado. $|\Psi|^2$ es un valor real de la función (es decir, su parte imaginaria es cero). No es especialmente útil pensar en la función de onda a sí mismo como una física de la onda. Lo que importa es la magnitud de la función de onda.

Answer 3

El truco consiste en ocultar la información sobre la fase de la onda en este tipo de representación. Hay un bonito apéndice de un libro acerca de la holografía : http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/9783527619139.app1/pdf - la parte A. 3

Se mantiene que: Para el general de la función de onda $ y = A · cos (\omega t − kr + \alpha) $, $kr$ y $\alpha$ pueden combinar en una sola fase de $\phi$, por lo que el $ y = A · cos (\omega t - \phi) $. Aquí la función explícitamente depende del tiempo y de la fase. Puede ser transformado de tal manera que, de forma explícita depende de uno de estos parámetros.

Por la fórmula para el coseno de la diferencia de los argumentos :

$ y = A · \cos \phi · \cos ωt + A · \sin \phi · \sin ωt $

o

$ y = A_1 · \cos \phi + A_2 · \sin \phi$.

El uso de represenatinon de número complejo, podemos reescribir la ecuación anterior como

$ y = A · \cos \phi + i · A · \sin \phi$

y por Euler de la ley, se obtiene :

$ y = A · e^{i · \phi}$.

Answer 4

Creo que la pregunta es más acerca de la física de interpretación de la expresión compleja

$\psi (x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}$

de la matemática significado de la misma. Para el significado físico de ello, podemos pensar en la probabilidad de amplitud como una flecha giratoria, la cual gira la partícula se desplaza en el espacio. La frecuencia de rotación de la flecha se determina por la energía (frecuencia) de la partícula (fotón.) Esta flecha se le ha dado el nombre de 'fasor' porque el argumento de $\phi =kx-\omega t$ es un ángulo (en la mecánica ondulatoria es llamada la 'fase' de la onda). Esta fase nos dice cuántos grados en la flecha que ha girado desde el momento en que la partícula se ha creado hasta que se alcanza el punto de $x$ tiempo $t$ de su recorrido.

Este complejo de representación de números es muy conveniente, no sólo porque muestra la fase de la onda, pero también muestra la dirección (si la onda viaja en 3-D.), sin Embargo su importancia en QM proviene de la necesidad de combinar (agregar) las ondas provenientes de diferentes fuentes en algún punto en el espacio. Esto no es una simple suma algebraica debido a que los ángulos involucrados hacen que el problema geométrico, y el número complejo representación hace esto muy cuidadosamente. En una forma en que el fasors agregar como vecors (la real con el realy el imaginario con el imaginario y su hecho!)

El cálculo de las probabilidades sigue las reglas que son también geométrico. Por ejemplo, pensemos en dos ondas provenientes de las dos ranuras en la DS experimento como:

de rendija 1 $S_1: \psi_1(x_1,t)$ y a partir de hendidura 2 $S_2: \psi_2(x_2,t)$.

El $x_1$ $x_2$ mostrar las distancias de los dos phasors (ondas) viajó por el tiempo que llegar a algún punto P en la pantalla. Cuando estas dos ondas llegan a la pantalla, que se sumarán para obtener el total de la amplitud de la primera

$A=\psi_1(x_1,t)+\psi_2(x_2,t)$

y, a continuación, la probabilidad será la plaza del módulo' del total de la amplitud como

$P=|A|^2= |\psi_1 (x_1,t)|^2+ |\psi_2 (x_2,t)|^2 + 2|\psi_1 (x_1,t)|\times|\psi_2 (x_2,t)|\cos(\theta)$

El thrird término en la ecuación anterior muestra la necesidad real de la representación compleja de las funciones de onda en QM, así como la necesidad de encontrar primero el total de la probabilidad de la amplitud y, a continuación, encontrar la probabilidad como el cuadrado del total del módulo. Este término es la raíz de todos los hermosos interferencia phenomana podemos observar en la mecánica cuántica mundo. Espero que esto ayude un poco.

Answer 5

En definitiva, "una onda que viaja en la $+x$ dirección" no tiene nada que ver con el movimiento de un paquete de ondas. A pesar de algunas similaridades matemáticas, la función de onda no es nada físicamente como una onda gravitatoria en la superficie del agua. En cuanto "las olas", no hay agua (o de gas, otros 3D continuo, cadena, o cualquier otra cosa que puede transmitir un significado físico a los valores de $Ψ(x,t)$).