Cómo calcular un campo vectorial en coordenadas esféricas

Question

Estoy teniendo problemas con el siguiente problema. Sigo obteniendo un resultado largo e inmanejable, así que cualquier sugerencia sobre dónde me he equivocado o cómo hacerlo me salvaría la vida. Por favor.

Considere un campo vectorial en $\mathbb R^3 $ Dado por F( $\bar{x}$ )= $\bar{\varepsilon} \times \bar{x}$
Dónde $\bar{\varepsilon}$ es un vector fijo no nulo y $\bar{x}$ es un vector variable

Calcule este campo vectorial en coordenadas esféricas. He supuesto que quieren que exprese este campo utilizando bases de coordenadas esféricas $\bar{e }_{p}$ $\bar{e }_{\phi}$ $\bar{e }_{\theta}$

$\bar{e }_{p}$ = $\cos \theta \sin \phi $ $\bar{i}$ + $\sin \theta \sin \phi $$ \bar{j} $ + $ \cos \phi $$\bar{k}$

$\bar{e }_{\phi}$ = $\cos \theta$ $\cos \phi $$ \bar{i} $ + $ \cos \phi $$ \sin \theta $$ \bar{j} $ - $ \N - en \N - en \N - en \N - en \N - en \N - en $$\bar{k}$

$\bar{e }_{\theta}$ = $ \sin \theta $$ \bar{i} $ +$ \cos \theta $$\bar{j}$

Dejemos que $\bar{x}$ = x $\bar{i}$ +y $\bar{j}$ + z $\bar{k}$

En coordenadas esféricas x=p $\cos \theta \sin \phi $
y=p $\sin \theta \sin \phi $
z=p $\cos \phi$

$\bar{x}$ =p $\cos \theta \sin \phi $$ \bar{i} $ += p $ \N - en \N -theta \N - en \N -phi $$\bar{j}$ +p $\cos \phi$$ \bar{k}$

Entonces $\bar{x}$ = p $\bar{e }_{p}$

A continuación, calculé el vector fijo en relación con la base de coordenadas esférica

$\bar{\varepsilon}$ = a $\bar{i}$ +b $\bar{j}$ + c $\bar{k}$ (Vector en relación con la base cartesiana) donde a,b,c, son constantes

$\bar{\varepsilon}$ = a( $\cos \theta \sin \phi $$ \bar{e }_{p} $ + $ \cos \phi \cos\theta $$\bar{e }_{\phi}$ - $\sin \theta $$ \ y la de los demás. $) + b($ \N - en \N -theta \N - en \N -phi $$\bar{e }_{p}$ + $\cos \phi \sin \theta $$ \bar{e }_{\phi} $ + $ \N - en \N - theta $$\bar{e }_{\theta}$ ) + c( $\cos\phi $$ \bar{e }_{p} $ - $ \N - en \N - en \N - en \N - en \N - en \N - en $$\bar{e }_{\phi}$ (utiliza la relación inversa entre las bases)

$\bar{\varepsilon}$ = (a $\cos \theta \sin \phi $ + b $\sin \theta \sin \phi $ + c( $\cos\phi $ ) $\bar{e }_{p}$ + (a $\cos \phi \cos\theta $ +b $\cos \phi \sin \theta $ - c $\sin \phi $ ) $\bar{e }_{\phi}$ +(b $\sin \theta $ -a $\sin \theta $ ) $\bar{e }_{\theta}$

A continuación, he tomado el producto cruzado de estos dos vectores (sé cómo hacer el producto cruzado, así que eso no es un problema, pero no estoy seguro de que lo que he hecho aquí sea correcto y me siento muy incómodo con el resultado). ¿En qué me he equivocado? Cualquier ayuda, sugerencia o comentario será recibido con mucha gratitud

Answer 1

Aquí voy a adoptar un enfoque diferente. Supongamos que $\vec{\varepsilon}$ es un vector fijo, o un campo vectorial constante con respecto al marco cartesiano. Entonces como escribimos $\vec{\varepsilon}$ en el marco esférico los coeficientes manifiestan una dependencia puntual. En particular, existen funciones $\varepsilon_{\rho},\varepsilon_{\phi},\varepsilon_{\theta}$ tal que $$\vec{\varepsilon} = \varepsilon_{\rho}\widehat{e}_{\rho}+\varepsilon_{\phi}\widehat{e}_{\phi}+\varepsilon_{\theta}\widehat{e}_{\theta} $$ podemos calcular estas funciones de coeficiente mediante $\varepsilon_{\rho}=\vec{\varepsilon} \cdot \widehat{e}_{\rho}$ , $\varepsilon_{\phi}=\vec{\varepsilon} \cdot \widehat{e}_{\phi}$ y $\varepsilon_{\theta} =\vec{\varepsilon} \cdot \widehat{e}_{\theta}$ . Esto se deduce de la ortonormalidad del marco esférico. (puedes comprobar, y creo que ya te has dado cuenta $\widehat{e}_{\rho} \cdot \widehat{e}_{\rho}=1, \widehat{e}_{\rho} \cdot \widehat{e}_{\phi}=0$ etc.). Sin embargo, también hay que tener en cuenta que $\{ \widehat{e}_{\rho}, \widehat{e}_{\phi}, \widehat{e}_{\theta} \}$ forma un diestro-triple en el sentido de que los productos cruzados de $\widehat{e}_{\rho}, \widehat{e}_{\phi}, \widehat{e}_{\theta}$ comparten los mismos patrones que los del marco cartesiano estándar: $$ \widehat{e}_{\rho} \times \widehat{e}_{\phi} = \widehat{e}_{\theta}, \ \ \widehat{e}_{\phi} \times \widehat{e}_{\theta} = \widehat{e}_{\rho}, \ \ \widehat{e}_{\theta} \times \widehat{e}_{\rho} = \widehat{e}_{\phi} $$ Ahora, como usted señala, $\vec{x} = \rho \widehat{e}_{\rho}$ así, $$ \vec{F} = \vec{\varepsilon} \times \vec{x} = (\varepsilon_{\rho}\widehat{e}_{\rho}+\varepsilon_{\phi}\widehat{e}_{\phi}+\varepsilon_{\theta}\widehat{e}_{\theta} ) \times \rho \widehat{e}_{\rho} = -\rho \varepsilon_{\phi}\widehat{e}_{\theta} + \rho \varepsilon_{\theta}\widehat{e}_{\phi}$$ ahora, sólo tenemos que calcular esos productos punto y hemos terminado.

Dicho esto, prefiero utilizar alguna notación como $\vec{A}$ en lugar de $\vec{ \varepsilon}$ desde $e$ y $\varepsilon$ se parecen tanto. En $\vec{A}$ -notación, $$ \vec{F} = \vec{A} \times \vec{x} = (A_{\rho}\widehat{e}_{\rho}+A_{\phi}\widehat{e}_{\phi}+A_{\theta}\widehat{e}_{\theta} ) \times \rho \widehat{e}_{\rho} = -\rho A_{\phi}\widehat{e}_{\theta} + \rho A_{\theta}\widehat{e}_{\phi}$$