Si $\lim_{x\to \infty }f'(x)=0$ entonces $\lim_{x\to \infty }f(x)$ existe.

Question

Quiero demostrar que si $f:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R$ (una función derivable) está acotada y s.t. $$\lim_{x\to \infty }f'(x)=0,$$ entonces $f$ tiene un límite en $+\infty $ .

He intentado lo siguiente:

Si $f$ no alcanza su supremum (denotemos que $\ell\in\mathbb R$ ), entonces puedo construir una secuencia $(x_n)_n$ s.t. $$\lim_{n\to \infty }f(x_n)=\ell.$$

Pero no puedo hacerlo mejor. ¿Alguna idea?

Answer 1

Es falso. Contraejemplo: cualquier $g\in C^1(\Bbb R)$ tal que $g(x)=\sin\ln x$ para todos $x>1$ .

Answer 2

No creo que la afirmación sea cierta.

Dejemos que $f(x) = \sin (\sqrt x)$ . Entonces

$$ f'(x) = \frac1{2\sqrt x} \cos (\sqrt x) \rightarrow 0 \ \mathrm{as} \ x\rightarrow\infty, $$

y $f$ está acotado, pero $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} f(x)$ no existe.

Esto tiene un problema que $f$ no es diferenciable en todas partes, por ejemplo, en $x=0$ . Para evitar este problema, modificamos $f$ de la siguiente manera:

$$ g(x) = \begin{cases} \sin (\sqrt x) &\mbox{if} \ x\geq (\pi/2)^2\\ 1 &\mbox{if} \ x<(\pi/2)^2 \end{cases} $$

Answer 3

Falso. Un contraejemplo es $$ f(x)=\sin\left(\sqrt[3]{x}\right) $$ donde $$ f'(x)=\frac{\cos\left(\sqrt[3]{x}\right)}{3\sqrt[3]{x^2}} $$

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La función anterior es diferenciable en todas partes, pero su derivada en $x=0$ es $+\infty$ . Aunque el punto principal de la pregunta es el comportamiento cerca de $\infty$ podemos ajustar el ejemplo $$ f(x)=\sin\left(\sqrt[3]{x^2+1}\right) $$ donde $$ f'(x)=\frac{2x\cos\left(\sqrt[3]{x^2+1}\right)}{3\sqrt[3]{x^4+2x^2+1}} $$