Multi-pullbacks y la relativa teorema del resto chino

Question

Deje $I,J$ ser dos caras de ideales de un anillo de $R$. En esta pregunta me pidió un "automático" a prueba el hecho de que los naturales de mapa de $R/(I\cap J)\rightarrow R/I\times _{R/(I+J)} R/J$ es un isomorfismo (una prueba directa no es difícil). En cualquier caso, si $I,J$ son comaximal, este de inmediato los rendimientos de un isomorfismo $R/(I\cap J)\cong R/I\times R/J$.

Ahora para $n$ ideales. Voy a indicar el multi-retirada de las flechas $R/I_k\rightarrow R/(\require{amsart}\Large +$$_k I_k)$ por $P$. Está claro que hay una canónica mapa de $R/\bigcap_ kI_k\rightarrow P$ y por un análogo de la prueba directa es una iso (Incorrecta; véase la respuesta). Ahora, si yo trato de colapso en el teorema del resto chino, me encuentro a mí mismo simplemente pidiendo $I_k$ a de manera conjunta cubierta $R$, yo.e $\require{amsart}\Large +$$_k I_k=R$. Por otro lado, cada una de las fuentes que he visto pide $I_k$ a de a pares comaximal.

¿Por qué es esto?

Agregado: Como se ha mencionado en los comentarios, el resultado no es cierto sin pares comaximality, por lo que me estoy perdiendo algo en los diagramas. Cada uno de los cuadrados de abajo es un retroceso y un pushout. $$\requieren{AMScd} \begin{CD} R/(I_i\cap I_j) @>>> R/I_i\\ @VVV @VVV\\ R/I_j @>>> R/(I_i+I_j) \end{CD}$$ Por lo tanto, cada cuadrado de la multi-pullback $$\requieren{AMScd} \begin{CD} R/\bigcap_kI_k @>>> R/I_i\\ @VVV @VVV\\ R/I_j @>>> R/\sum_kI_k \end{CD}$$ factores a través de la de arriba y llegamos inducida por los mapas de $R/\bigcap_kI_k\rightarrow R/(I_i\cap I_j)$$R/(I_i+I_j)\rightarrow R/\sum_kI_k$. ¿Cuál es el eslabón perdido?

Añadido nuevo: me estoy poniendo cada vez más grandes diagramas y empezando a pensar que esto de las necesidades de todo tipo de combinatoria de cosas relacionadas con el cubre. La esperanza que hay un elegante argumento que corta a través de este.

Answer 1

El mapa de $R/\bigcap_ kI_k\rightarrow P$ generalmente no es un isomorfismo. Esto es evidente si se piensa de manera concreta. Lástima que yo estaba decidido a trabajar con diagramas solo. Comaximality es conveniente condición para asegurarse de que este mapa es una iso.

Ya en el caso de los tres ideales $I,J,K$, el problema es que no hay inducida por los mapas de $P\rightarrow R/(I\cap J)$ debido a que la plaza de abajo no necesita desplazarse. $$\requieren{AMScd} \begin{CD} P @>>> R/I\\ @VVV @VVV\\ R/J @>>> R/(I+J) \end{CD}$$ Conmutatividad significaría la implicación de abajo, que no tiene ninguna razón para celebrar. $$r+I+J+K=s+J+K+I\implies r+I+J=s+J+I$$ En el binario caso de que la plaza es un retroceso, por lo que conmutatividad no es un problema.

Ahora, para el comaximality. Como esta pregunta muestra, comaximality no es una condición necesaria para el binario de la CRT. Por la asociatividad, $P$ puede ser calculado a través de afirmar pullbacks. Por inducción basado en el binario caso, podemos tentativamente calcular $$\begin{aligned} P & \;\;= (R/\bigcap _{k=1}^{n-2}I_k\times _{R/\sum_{k=1}^n}R/I_{n-1}) \times_{R/\sum_{k=1}^n}R/I_n \\ & \overset{\text{I wish}}{=} (R/\bigcap _{k=1}^{n-2}I_k\times _{R/\sum_{k=1}^{\color{#c00}{n-1}}}R/I_{n-1}) \times_{R/\sum_{k=1}^n}R/I_n \\ & \;\;=R/\bigcap_{k=1}^{n-1}\times _{R/\sum_{k=1}^nI_k}R/I_n \\ & \overset{\text{I wish}}{=}R/\bigcap_{k=1}^{n-1}\times _{R/(\color{#c00}{\bigcap_{k=1}^{n-1}I_k+I_n)}}R/I_n \\ & \;\;=R/\bigcap_{k=1}^nI_k \end{aligned}$$

Condiciones suficientes serían $\sum_{k=1}^{n-1}=\sum_{k=1}^n, \sum_{k=1}^nI_k=\bigcap_{k=1}^{n-1}I_k+I_n$. Queremos que estos celebrar para todas las $1\leq k\leq n, n\geq 3$. Una condición fácil para la primera igualdad es de a pares comaximality. El siguiente hecho se ocupa de la segunda.

Hecho. Deje $I_1,\dots,I_n$ ser pares comaximal ideales. A continuación, $I_j,\prod_{k\neq j}I_k$ son comaximal. (Prueba por inducción.) En particular, $I_j,\bigcap_{k\neq j}I_k$ son comaximal desde $\prod_kI_k\subset \bigcap _kI_k$.

Así que para los pares comaximal ideales de la tentativa de cálculo está justificada. Ya que estamos tirando hacia atrás de más de $R/\sum_k I_k$ y $\sum_kI_k=R$, $P$ es sólo el producto de $\prod _kR/I_k$ y tenemos el teorema del resto Chino. Si el anillo es conmutativo, entonces la multiplicación y la intersección coinciden por pares comaximal ideales, y tenemos $\prod _kR/I_k\cong R/\prod_kI_k$.