Demostrar $1+\sqrt2$ es irracional

Question

Estoy tratando de demostrar $1+\sqrt 2$ es un número irracional.

Voy a empezar con la contradicción

Prueba: suponga que $1+\sqrt 2$ es un número racional tal que $1+\sqrt 2=\frac{m}{n}$ donde m y n son algunos de los números enteros. A continuación, $$1+\sqrt 2=\frac{m}{n}$$ $$\implies \sqrt 2 =\frac{m}{n}-1$$ $$\implies \sqrt 2=\frac{m-n}{n}$$ $$\implies \sqrt{2} n=m-n$$ $$\implies 2n^2=(m-n)^2$$

Me quedo atascado en este paso, ¿alguien puede dar una sugerencia o una sugerencia? Gracias!

Answer 1

En el tercer paso, ya hay una contradicción (es decir, si has probado a $\sqrt2$ es irracional ya).

Answer 2

Una manera sorprendente de probar esa irracionalidad es a través de Euclides del mcd algoritmo, que trabaja por los racionales. Es decir, si $\,w=\sqrt{2}+1\in\Bbb Q\,$ $\,w-2 =\sqrt{2}-1\in \Bbb Q\,$ por lo tanto

$$\begin{align} d = \gcd(1,\sqrt{2}+1)\ &=\, (\sqrt{2}+1)\,\gcd(\sqrt{2}-1,\,1)\quad {\rm by}\ \ \gcd(ab,ac)\, =\, a\gcd(b,c)\\ &=\, (\sqrt{2}+1)\, \gcd(\sqrt{2}+1,\,1)\quad {\rm by}\ \ \gcd(a,b)\, =\, \gcd(a\!+\!2b,b)\\\end{align}\quad $$

por lo tanto el mcd $\,d\,$ satisface $\, d = (\sqrt{2}+1)d,\,$ contradicción! Por lo tanto, $\,\sqrt{2}+1\not\in\Bbb Q$

Answer 3

Si usted no puede usar ese $\sqrt 2$ es irracional, suponga $m$ $n$ son coprime y considerar la última $\pmod 4$ no pueden ser ambas, incluso, si uno es impar el lado derecho es impar, si ambos son impares el derecho es un múltiplo de a $4$, pero el de la derecha es $2 \pmod 4$

Answer 4

Si $x = 1 + \sqrt{2} \to (x-1)^2 - 2 = 0 \to x^2 - 2x - 1 = 0$. Una aplicación de la conocida Eisenstein racional de la raíz de la prueba muestra que esta ecuación no puede tener una raíz racional, por lo tanto la conclusión.

Answer 5

Supongo que quieres usar esta antes de haber probado el hecho bien conocido de que $\sqrt2$ es irracional (porque obviamente es equivalente a lo que usted pregunta: sumar o restar el número racional $1$ desde algún número racional daría otro número racional), de modo que usted no desea utilizar ese hecho. Y con el fin de ser capaz de obtener una alternativa interesante a prueba el hecho de que $\sqrt2$ es irracional, usted quiere también evitar el uso único de la factorización de enteros, o incluso sólo de Euclides del lema para el prime$~2$ (si el producto de los números es par, al menos uno de ellos es incluso). Entonces, aunque sus manos, atadas detrás de su espalda, todavía se puede proceder como sigue.

Asumir como hiciste eso $\sqrt2+1=\frac mn$ para enteros positivos $m,n$; si tales enteros existen uno puede tomar un par donde $m+n$ es mínima. Ahora desde $\sqrt2>1$ ha $0<\sqrt2-1=\frac mn-\frac nn=\frac{m-2n}n$. Multiplicando da $$ \frac mn\times\frac{m-2n}n = (\sqrt2+1)(\sqrt2-1)=(\sqrt2)^1-1^2=2-1=1. $$ Por lo tanto $$ \frac n{m-2n}=1\left/\frac {m-2n}n\right. =\frac mn, $$ Pero esto contradice minimality de $m+n$, ya que el $n+(m-2n)=m-n<m+n$.