Es posible que $N_G(H)=H$ $N_G(K)=K$ donde $K\subsetneq H$?

Question

Es posible que $N_G(H)=H$ $N_G(K)=K$ donde $K \subsetneq H$ $H,K$ son propias de los subgrupos de $G$ ?

Answer 1

$\newcommand{\Span}[1]{\langle #1 \rangle}$Lo considera, por ejemplo, el grupo de $G$ orden $18$ que es la semidirect producto de primaria, grupo abelian $\Span{x,y}$ orden $9$ por un grupo de $H = \Span{z}$ orden $2$, actuando como $$x^z = x^{-1}, \qquad y^{z} = y^{-1}.$$

Ahora tome $K = \Span{x, z}$, por lo que el $H \subsetneq K$.

Tenemos $N_{G}(H) = H$$N_{G}(K) = K$.

Answer 2

Deje $G$ ser un grupo finito y $P$ cualquier Sylow $p$-subgrupo de $G$. Entonces si $N_G(P) \leq K \leq G$,$N_G(K) = K$.

Por lo tanto para encontrar un ejemplo, sería suficiente para encontrar un finito $G$ con un Sylow $p$-subgrupo $P$ tal que $N_G(P)$ no está de máxima y de $N_G(P) \neq G$. Un ejemplo como este se da en la respuesta por Andreas.

Answer 3

Misma respuesta básica como Andreas y Mikko:

Parabólico subgrupos de los grupos con $(B,N)$-pares son auto-normalización, por lo que uno se entera de los edificios de la auto-normalización de los subgrupos.

Así que para obtener una cadena de longitud $n-2$, tome $G=\operatorname{GL}_n(q)$ para cualquier campo $q$, y deje $H_i$ ser el subgrupo de $G$ compuesto de matrices de $\begin{bmatrix} A & B \\ 0 & T \end{bmatrix}$ $A \in \operatorname{GL}_i(q)$ a un arbitrario invertible $i \times i$ matriz, $B \in q^{[i,(n-i)]}$ a un arbitrario $i \times (n-i)$ matriz, y $T$ un triangular superior invertible $(n-i) \times (n-i)$ matriz.

A continuación, $H_1 < H_2 < \ldots < H_{n-1} < H_n = G$ son todos auto-normalización, por lo $H_1 < H_2 < \ldots < H_{n-1}$ es una cadena de longitud $n-2$ de adecuadas, auto-normalización de los subgrupos. Observe que cuando se $q$ es un campo finito de característica $p$, esto es sólo el Sylow ejemplo de Mikko.