Podría el conjunto de puntos fijos de ser incontable?

Question

Deje $f $ ser una función continua definida de $[0,1] $ $[0,1] $y

$A=\{x\in [0,1] \; : \; f (x)=x\} $.

Suponemos que

$$\forall (a,b)\in [0,1]^2 \;\;$$ $$a\ne b\implica \;\;\exists x\in [a,b] \;:\; x\noen Un .$$

Podría $A $ ser innumerables?

Con $f (x)=x|\sin (\frac {1}{x}) |$$x\ne 0$$f (0)=0$,

tenemos un ejemplo en donde la $A $ es infinito y contables, pero yo no tengo ningún ejemplo con $A$ incontable.

Answer 1

El complemento de $A$ es abierto y denso en $[0,1]$. Ignorando los extremos, se puede escribir como contables de la unión de countably muchos pares distintos intervalos abiertos $(a_i,b_i)$, $i\in\Bbb N$. Dado cualquier enumeración de pares distintos intervalos abiertos, podemos definir $$f(x)=\begin{cases}(x-a_i)(b_i-x)+x&\text{if }x\in(a_i,b_i)\text{ for some }i\in\Bbb N\\x&\text{otherwise}\end{cases} $$ A continuación, $f$ es continua y tiene precisamente el complemento de los intervalos abiertos empezamos con (es decir, $A$) como su corrección de punto de ajuste.

Ahora todo lo que usted necesita para encontrar un adecuado $A$, es decir, un incontable subconjunto cerrado de $[0,1]$ con densa complemento. El conjunto de Cantor es un ejemplo apropiado.

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También podríamos hacer $f$ monótono, o $C^\infty$ (o ambos). Reemplazando el intervalo sabio cuadráticas con algo más adecuado.

Answer 2

Deje $K$ denotar el conjunto de Cantor. Recordemos que $K$ es compacto, incontables, y no contiene ningún intervalo de positivos longitud. Definir $f(x) = x +(1-x)d(x,K),$ donde $d(x,K)$ es la distancia de $x$ $K.$ $f$mapas de $[0,1]$ continuamente a $[0,1],$ $f(x)=x$ fib $x\in K.$

Answer 3

Si $C\subseteq[0,1]$ es cualquier conjunto cerrado tal que $0,1\in C$, entonces no es un mapa continuo $f:[0,1]\to[0,1]$ cuyo punto fijo definido es $C$. De hecho, el complemento de a $C$ es un subconjunto abierto de $(0,1)$ y por lo tanto es un discontinuo de la unión de intervalos abiertos $(a_n,b_n)$. Si elegimos funciones continuas $f_n:[a_n,b_n]\to[a_n,b_n]$ por cada $n$ tal que $f_n(a_n)=a_n$, $f_n(b_n)=b_n$ y $f_n(x)\neq x$ todos los $x\in (a_n,b_n)$, entonces podemos definir $f:[0,1]\to[0,1]$ $f(x)=x$ si $x\in C$ $f(x)=f_n(x)$ si $x\in(a_n,b_n)$, e $f$ será continua (continuidad de $f$ en puntos de $C$ toma un poco de trabajo para comprobar, eso se lo dejo como ejercicio) y el punto fijo conjunto de $f$$C$.

De la existencia de tales funciones $f_n$, ten en cuenta que si $a_n=0$$b_n=1$, entonces podríamos tomar $f_n(x)=x^2$. Para general$a_n$$b_n$, a continuación, puede conjugar este por un homeomorphism entre el$[0,1]$$[a_n,b_n]$.

Así, en particular, por ejemplo, si $C\subseteq[0,1]$ es el conjunto de Cantor, es un mapa continuo $f:[0,1]\to[0,1]$ $C$ como su punto fijo establecido. Dado que el conjunto de Cantor es incontable y no contiene ningún intervalo, esto satisface sus requisitos.