ver la diferencial dx/y en una curva elíptica como un elemento de la gavilla de los diferenciales de

Question

$\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}$ $\newcommand{\Spec}{\text{Spec }}$

Es un hecho bien conocido que cada curva elíptica (por ejemplo, más de un campo $k$) tiene un mundial holomorphic ningún lugar de fuga diferencial. Si la curva está dado por $y^2 = x^3 + ax + b$, entonces es calculada en Silverman (p33, ejemplo 4.6), que el diferencial de $dx/y es holomorphic y nonvanishing. Por lo tanto, la línea de haz de holomorphic diferenciales debe ser trivial, correspondiente a un rango de 1 gavilla de relativa diferenciales.

Por otro lado, vamos a $E$ ser algunos de curva elíptica sobre $k = \CC$, dicen dada por la ecuación $y^2 = x^3 - 1$. A continuación, la existencia de un lugar de fuga holomorphic diferencial debe implicar que la gavilla de la relación de los diferenciales $\Omega_{E/k}$ es libre de rango 1. En particular, podemos restringir la gavilla $\Omega_{E/k}$ a los afín locus dado por el anillo $$R := \CC[x,y]/(y^2-x^3+1)$$ La restricción de $\Omega_{E/k}$ $U := \Spec R$es sólo la gavilla asociados a la $R$ módulo $$\Omega_{R/k} = (Rdx\oplus Rdy)/(2ydy - 3x^2dx)$$ El mundial de las secciones de $\Omega_{E/k}|_U$ debe entonces ser sólo los elementos de $\Omega_{R/k}$. En particular, $dx/y$ debe ser un elemento del módulo de $\Omega_{R/k}$.

Mi pregunta es: ¿cómo ve $dx/y$ como un elemento de $\Omega_{R/k}$? Me estoy perdiendo algo de álgebra truco?

Answer 1

Así que aquí está la respuesta. Desde $dx/y$ se define en $D(y)$, y más de $D(xy)$, $dx/y = 2dy/3x^2$, que se define en $D(x)$, y desde $D(x),D(y)$ cubierta $\Spec R$, se debe pegar a un mundial de sección, es decir, un elemento de $\Omega_{R/k}$.

Es decir, queremos encontrar un elemento (que ahora sabemos que existe!) de $\Omega_{R/k} = (Rdx\oplus Rdy)/(2ydy-3x^2dx)$ que obtiene asignada a (en el plano de localización) a$dy/x$$D(y)$.

Es decir, se quiere encontrar $f,g\in R$ tal que $fdx + gdy = dx/y$$\Omega_{R/k}|_{D(y)}$, es decir, que existe una $t = y^k$ tal que $$t(y(fdx+gdy) - dx) = 0\qquad\text{in $\Omega_{R/k}$}$$ Equivalentemente, $t((yf-1)dx + ygdy)$ es un múltiplo de a $2ydy-3x^2dx$. Usando la relación $y^2 = x^3-1$, podemos optar $f = -y, g = \frac{2}{3}x, t = 1$, y vemos que $$(-y^2-1)dx + \frac{2}{3}xydy = -x^3dx + \frac{2}{3}xydy = \frac{x}{3}(2ydy - 3x^2dx) = 0$$