Cómo puedo probar $\tau$ es una topología en $\mathbb{N}$

Question

Consideremos el conjunto a $X = \mathbb{N}$, y deje $\tau$ ser la colección de todos los subconjuntos de a $A \subset \mathbb{N}$ que $\mathbb{N}\setminus A$ es finito, junto con el conjunto vacío. Quiero mostrar a $\tau$ es una topología en $\mathbb{N}$.

Sé que los requisitos para que un conjunto sea una topología es:

1. $\emptyset$ $X$ $\tau$

2. La unión de los elementos de cualquier subcolección de $\tau$ $\tau$

3. La intersección de los elementos de cualquier finito subcolección de $\tau$$\tau$.

Para este problema, sé que la primera condición se mantiene.

Por favor alguien puede ayudarme muestran que las otras dos condiciones para una topología mantenga así para que yo pueda probar que $\tau$ es una topología en $\mathbb{N}$

Answer 1

Deje $\tau$ ser una familia de subconjuntos de a $\mathbb N$ como sigue: $$\tau=\{A: \mathbb N \setminus A \text{ is finite or } A=\emptyset \}$$ Queremos mostrar que $\tau$ es una topología en $\mathbb N$.

1. En primer lugar, nos muestran que tanto $\emptyset$$\mathbb N$$\tau$. Por definición, $\emptyset \in \tau$. Desde $\mathbb N \setminus \mathbb N = \emptyset$, $\mathbb N$ es también en $\tau$, de modo que se satisfaga esta condición.
2. En segundo lugar, mostrar que cualquier unión de elementos en $\tau$$\tau$. Deje $\{A_\alpha\}$ ser arbitraria de la familia de conjuntos en $\tau$. Si $A_\alpha = \emptyset$ todos los $\alpha$, $\bigcup A_\alpha = \emptyset$ y por lo tanto es un miembro de $\tau$. Ahora considere el caso donde al menos uno de los $A_\alpha \ne \emptyset$. Podemos denominar este conjunto no vacío como $A_{\alpha_1}$. Debido a $A_{\alpha_1} \in \tau$, sabemos que $\mathbb N \setminus A_{\alpha_1}$ es finito, y desde $A_{\alpha_1}\subset \bigcup A_\alpha$, podemos ver que $\mathbb N \setminus \bigcup A_\alpha$ debe ser finito, y es por lo tanto un miembro de $\tau$. Esto satisface nuestra segunda condición.
3. Finalmente, se muestra que la intersección de un número finito de elementos de $\tau$$\tau$. Deje $(A_1, A_2,...,A_n)$ ser una colección finita de conjuntos en $\tau$. Si alguna de las $A_i=\emptyset$, $\bigcap_{1 \le i \le n}A_i = \emptyset$ y es, por tanto, en $\tau$. Ahora considere el caso donde todos los $A_i$ son conjuntos no vacíos. Desde $A_i \in \tau$, sabemos que $\mathbb N \setminus A_i$ es un conjunto finito. Desde $\bigcap_{1 \le i \le n}A_i = \mathbb N \setminus \left( \bigcup_{1 \le i \le n} \mathbb N \setminus A_i \right)$, y dado que una unión finita de conjuntos finitos es finito, podemos ver que $\bigcap_{1 \le i \le n}A_i$ tiene un complemento finito y, por tanto, debe ser en $\tau$, la satisfacción de la condición 3.

Esto demuestra que $\tau$ es una topología en $\mathbb N$. Esta topología particular es conocido como el cofinite topología y se pueden definir en cualquier conjunto no vacío, no sólo a $\mathbb N$.