Determinar si los siguientes conjuntos son cerrados, abiertos o compactos

Question

Estoy haciendo algo de topología ahora y honestamente estoy muy confundido en cómo decir formalmente que un conjunto es abierto, cerrado o compacto. Especialmente con los conjuntos abiertos, la prueba de ello (deben existir bolas de radio $r$) parece muy arbitraria (ya que el radio puede ser tan pequeño como se desee). Tiene más sentido para mí desde un punto de vista geométrico (es decir, dibujándolo). Desafortunadamente, esto no es suficiente en mi clase, por lo que estoy pidiendo ayuda para las siguientes preguntas

Mis pensamientos para las siguientes preguntas son los siguientes:

1a) ya resuelto

1b) Toma el punto $(n,0)$. En $n=0$, el punto está en $B$, pero si tomas el punto mientras $n$ tiende a infinito, el punto alterna entre estar dentro y fuera de $B, por lo tanto, por convergencia, el conjunto no está cerrado. Luego estoy completamente confundido en cómo hacer la prueba de la bola para mostrar que es/no es abierto.

1c) $C$ no es ni cerrado ni abierto. Si eliges el punto $(0,1,1/n)$, entonces sí está en $C$. Pero si tomas el límite cuando $n$ tiende a infinito, entonces el punto converge a $(0,1,1)$, que no está en el conjunto. Por lo tanto, no está cerrado. Entonces, si colocas una bola en $(0,1,1)$, algunos puntos estarán fuera de $C$, por lo que no es abierto.

1d) Para empezar, $D$ es un cilindro parabólico (creo). No tengo idea de qué hacer aquí.

Sé que un conjunto compacto es un conjunto limitado y cerrado.

2a) Este conjunto está limitado debido a los términos cuadrados y el signo igual. Dado que este conjunto contiene sus puntos de límite, ¿debe ser cerrado? ¿Entonces es compacto?

2b) Este conjunto es un cono elíptico. No creo que esté limitado porque se extiende infinitamente. ¿Y por lo tanto tampoco debe estar cerrado? Realmente confundido aquí

2c) El lado izquierdo es innecesario, ya que $e^x+e^y$ nunca será cero o menor que $0$. Entonces, si tomamos el punto $(1/n,1/n)$, este existe en $C$, y el límite del punto cuando $n$ tiende a infinito también existe en $C$, por lo que el conjunto está cerrado. Luego creo que este conjunto también está limitado (más de una forma más "obvia" para mí que cualquier forma matemática formal de mostrarlo). ¿Entonces es compacto?

Cualquier ayuda o consejo sobre cómo abordar estos problemas sería muy apreciada :)

Answer 1

Para el Problema 1(b) sea $f(x,y)=(\cos x) +e^{xy}.$ Observa que $p=(\pi /2,0)\in B$ porque $f(\pi /2,0)=1.

Para cualquier $r>0$ el bola abierta $B(p,r)$ de radio $r$ centrada en $p$ contiene el punto $p'=(s+\pi /2,0),$ donde $s=\min(r/2, \pi /4).

Y $p'\not \in B$ porque $f(s+\pi /2, 0)=(\cos (s+\pi /2))+1=(-\sin s)+1<1. Así que $B$ no es abierta.