bivariant Yoneda lema

Question

$\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}$Cualquier categoría está equipado con un covariante hom-functor $\Hom(A,-)$, dejando el segundo argumento variar. La covariante Yoneda lema dice $\operatorname{Nat}(\Hom(A,-),F)\cong F(A)$ para cualquier functor covariante $F$.

Alternativamente, cualquier categoría está equipado con un contravariante hom-functor, en lugar de dejar que el primer argumento variar. A continuación, para contravariante functors $F\colon C^\mathrm{op}\to \operatorname{Set},$ tenemos la contravariante de Yoneda lema $\operatorname{Nat}(\Hom(-,X),F)\cong F(X).$

En lugar de elegir uno o el otro argumento para variar, podemos dejar que varían. Dando el hom functor como un bivariant functor $\operatorname{Hom}(-,-)\colon C^\mathrm{op}\times C\to \operatorname{Set}$. Hay un Yoneda lema para este functor así?

Answer 1

Mostrar que $\mathsf{Nat}(\mathsf{Hom}(-_1,X)\times\mathsf{Hom}(A,-_2),P)\cong P(A,X)$ donde $P:\mathcal C^{op}\times\mathcal C\to\mathbf{Set}$. Usted puede comprobar esto por alarmada y aplicando a cada una variación de la Yoneda lema. O, usted puede darse cuenta de que las dos variantes de la Yoneda lema son la misma declaración, y el anterior también es sólo un caso especial de la Yoneda lema.