¿Qué es la igualdad de dos funciones (o mapas)?

Question

Supongamos que hay dos mapas de $f : A \to B$ $g : A\to C$ tal que $C$ $B$ pueden ser diferentes conjuntos, sino $f(x)=g(x)$ por cada $x$$A$. Por lo tanto, la imagen de $f$ $g$ están contenidas en la intersección de las $B$$C$.

Entonces, se puede decir que $f=g$? Esta parece una pregunta trivial, pero realmente molesta y me confunde...

Aquí, la función de $F$ se define como $F : M \to N$, pero también se consideran como $F : M \to F(M)$ a ser un homeomorphism. Así que deja a la confusión...

Answer 1

$f: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ $g: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}\cup\lbrace \frac{1}{2} \rbrace$ definido por $f(x) = g(x) = x$ todos los $x \in \mathbb{N}$. Tenga en cuenta que $f$ es bijective sino $g$ no lo es.

$f:A \longrightarrow$ B y $g: C \longrightarrow D$ son iguales cuando $A = C$, $B = D$ y $f(x) = g(x)$ todos los $x \in A$ (por definición), de lo contrario, dos de igualdad de las funciones pueden no tener las mismas propiedades.

Cuando usted escribe $f:X \longrightarrow Y$ $f: X \longrightarrow f(X)$ considerando sólo la imagen, ya que el resto de elementos de $Y$ son prescindibles. La redacción en función de la imagen a veces es conveniente. En realidad, son dos cosas diferentes, por ejemplo:

$f: X \longrightarrow Y$ donde $Y \subset \mathbb{N}$ $f$ es inyectiva. Para mostrar que $X$ es contable, usamos ese $f: X \longrightarrow f(X)$ es bijective y $f(X) \subset Y \subset \mathbb{N}$ es contable.

Esto es un abuso de notación, porque $f: X \longrightarrow Y$ $f: X \longrightarrow f(X)$ son dos cosas diferentes, pero seguimos con el mismo nombre (que hace que el texto sea más claro) ya que sólo descartar los elementos que no tienen ningún tipo de asociación.

Answer 2

Ellos no son iguales. Para los dos mapas iguales, también exige que tengan el mismo dominio y codominio.

Lo que usted puede hacer por ejemplo, es "corestrict" f y g $B \cap C$. Así que es cierto, que el $f|^{B\cap C} = g|^{B \cap C}$.

Answer 3

En orden para dos funciones iguales, sus imágenes de la misma no es suficiente, sus sub-dominios, también tiene que ser el mismo.

Por ejemplo, supongamos $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$$g: \mathbb{Z} \to \mathbb{C}$$f(x) = x$$g(x) = x$. A continuación, observe que $f$ es un bijection mientras que $g$ no es ni siquiera surjection, por lo tanto no es un bijection. Así que incluso algunas de las características de las funciones de cambio cuando se cambie el co-dominio, de modo que no podemos decir $f= g$.

Answer 4

Una función tiene tres partes.

De dominio, Codominio, y la asignación de $f:A\to B $.

Por lo tanto $f:A\to B$ $g:C\to D$ son iguales iff $ A=C$$B=D$, y para cada $x\in A,$ $ f(x)=g(x).$