Son los conjuntos de $\{(x, y): x^2 + y^2 < 1\}$ $\{(x, y): 0 < x^2 + y^2 < 1\}$ homeomórficos?

Question

Son los conjuntos de $A = \{(x, y): x^2 + y^2 < 1\}$ a y $B = \{(x, y): 0 < x^2 + y^2 < 1\}$ homeomórficos?

Mi conjetura es que ellos no lo son, pero no sé cómo probar esto. He estudiado algo de topología sólo en el contexto de la métrica de los espacios, y sé que la conectividad y la compacidad son propiedades topológicas, pero no sé si eso se aplica aquí.

Answer 1

$A$ es un simplemente se conecta el espacio y el $B$ no es...

Answer 2

No, no lo son. El conjunto $A$ tiene esta propiedad: para cada subconjunto compacto $K$$A$, hay un subconjunto compacto $K^*$ $A$ tal que $K\subset K^*\subset A$ y $A\setminus K^*$ está conectado. Pero este no es para $B$; tome$$K=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,\middle|\,x^2+y^2=\frac14\right\}.$$