Cómo investigar la convergencia uniforme de la serie

Question

G $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(1+x^2)^n}, $$ para los que los valores de $x$ ¿es uniformemente convergente?

Determinar los puntos para los que es convergente en puntos es muy fácil, simplemente utilizando la prueba de la raíz, llegué al resultado de que la serie es convergente en puntos para todo $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

Sin embargo, no tengo ni idea de cómo obtener los valores de $x$ para la cual esta serie es uniformemente convergente. ¿Debo utilizar la definición de convergencia uniforme o la prueba M de Weierstrass?

Answer 1

La serie es uniformemente convergente en cualquier subconjunto de $I_a:=(-\infty,-a]\cup [a,+\infty)$ con $a>0$ . Para $x\in I_a$ , $$0<\frac{1}{n(1+x^2)^n}\leq \frac{1}{n(1+a^2)^n}$$ y $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(1+a^2)^n}$ es una serie convergente (utilice la prueba de la relación). Entonces la convergencia uniforme se deduce de la Prueba M de Weierstrass .

Sin embargo, la serie no es uniformemente convergente en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . Para $x\not=0$ , dejemos que $f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(1+x^2)^n}$ . Entonces $$\begin{align} \sup_{x\not=0}\left|f(x)-\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(1+x^2)^n}\right| &=\sup_{x\not=0}\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n(1+x^2)^n}\\ &\geq \sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n(1+1/n)^n} \quad\text{($x=1/\sqrt{n}$)}\\ &\geq \frac{1}{3}\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty \end{align}$$ donde en la última línea aplicamos $(1+1/n)^n\leq 3$ (o podemos observar que $(1+1/n)^n\to e$ ).

Answer 2

Toma $a>0$ . Entonces $$|x|\geqslant a\implies\frac1{1+x^2}\leqslant\frac1{1+a^2}\implies(\forall n\in\mathbb{N}):\frac1{n(1+x^2)^n}\leqslant\frac1{n(1+a^2)^n}$$ y por tanto la serie converge uniformemente en $\mathbb{R}\setminus(a,a)$ por el Weierstrass $M$ -prueba.