El cómputo de la suma de $\frac{1}{(\frac{1}{n}-p)^{2}}+\frac{1}{(\frac{2}{n}-p)^{2}}+\ldots+\frac{1}{(1-p)^{2}}$

Question

Deje $p\in(0,1)$ $n$ ser un número finito de enteros positivos. Cómo calcular la siguiente suma \begin{equation} \frac{1}{(\frac{1}{n}-p)^{2}}+\frac{1}{(\frac{2}{n}-p)^{2}}+\ldots+\frac{1}{(\frac{n-1}{n}-p)^{2}}+\frac{1}{(1-p)^{2}}? \end{equation}

Traté de sustitución y ampliar el denominador términos, pero no parece funcionar. Cualquier sugerencias?

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Edición de $1$:

Así que aquí está por qué quiero para calcular esta suma. Deje $Z\sim\text{Bin}(n,p)$. Quiero calcular $\mathbb{E}|\frac{Z}{n}-p|$. Desde $U:=|\frac{Z}{n}-p|$ es no negativo de la variable aleatoria toma valores en $A:=\{p,|\frac{1}{n}-p|,\ldots,1-p\}$, he \begin{align} \mathbb{E}|\frac{Z}{n}-p|&=\sum_{t\in A}\mathbb{P}(U>t)\\ &\le \text{var}(U)\sum_{t\in A}\frac{1}{t^{2}}\quad (\text{Chebyshev's inequality}) \end{align} Esta suma es lo que aparece arriba. Otra forma podría ser la utilización de una exponencial atado en el segundo paso.

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Edición de $2$

Así, un simple límite superior es el siguiente: \begin{align} \mathbb{E}|\frac{Z}{n}-p|&\le \frac{1}{n}\sqrt{\mathbb{E}(Z-np)^{2}}\\ &=\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}, \end{align} lo que sería bueno para mi cálculo.

Las técnicas para calcular la suma en cuestión son bienvenidos.

Answer 1

Denotar por $\lfloor{x}\rfloor$ el entero más grande menor que $x$. A mí me parece que su expectativa puede ser calculado exactamente , sin demasiado esfuerzo: $$ \sum_{k=0}^n {n\elegir k}p^k (1-p)^{n-k}\Big|\frac{k}{n}-p\Big|=\frac{1}{n}\left[\sum_{k=\lfloor{pn}\rfloor+1}^n {n\elegir k}p^k (1-p)^{n-k}(k-np)+\sum_{k=0}^{\lfloor{pn}\rfloor} {n\elegir k}p^k (1-p)^{n-k}(np-k)\right] $$ $$ =\boxed{\frac{2 (\lfloor{pn}\rfloor+1) p^{\lfloor{pn}\rfloor+1} \binom{n}{\lfloor{pn}\rfloor+1} (1-p)^{n-\lfloor{pn}\rfloor}}{n}}\ . $$

Answer 2

El tratamiento de esta como una de Riemann aproximación a $n\int_0^1 dx/(x-p)^2$ y haciendo caso omiso de la singularidad en $x=p$ da (hacerlo mentalmente) $n/(p(1-p))$.