Dificultades para enunciar el teorema del valor medio para funciones que no son continuas en un intervalo cerrado.

Question

El teorema del valor medio se enuncia como sigue

Sea una función $f$ que es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ . Entonces existe $c$ perteneciente a $(a,b)$ tal que $f(c)=\frac{f(b)f(a)}{ba}$ .

Ahora bien, aquí se supone que la función es continua en un intervalo cerrado. Lo que no entiendo es la utilidad de que la función sea continua en un intervalo cerrado. Entiendo que entonces $f(a)$ y $f(b)$ no estará definida si utilizamos más bien un intervalo abierto (a,b), pero entonces podemos tener en cuenta los límites a medida que x se acerca a a y b de la función (a veces límites unilaterales) en lugar de los valores de la función en $a$ y $b$ .

Sé que esto sería tedioso y complicaría el teorema, pero lo que quiero preguntar es que si hay alguna otra razón para proponer una función continua cerrada en lugar de una abierta o semiabierta.

Answer 1

Si sólo se considera la continuidad de $f(x)$ en $(a, b)$ entonces los límites en los puntos finales podrían ser infinitos o no existir en absoluto.

Por ejemplo $f(x)= \tan (x)$ en $(-\pi /2, \pi /2)$ .

En ese caso, el enunciado del teorema no tiene sentido tal como está.

Answer 2

Porque en los casos particulares que usted evoca, siempre es posible volver a esa forma del teorema.

Por ejemplo, si $f$ sólo tiene un límite izquierdo en $a$ se definiría la función $g$ como $$ g(x) := f(x)\quad \text{if} \quad x>a $$ y $$ g(a) := \lim_{x\rightarrow a^+}f(x) $$ Entonces se puede aplicar el teorema a $g$ .

Pero será mucho más complicado enunciar todos los casos particulares de la hipótesis, sin ninguna ganancia real, ya que se pueden deducir fácilmente con procedimientos sencillos como los anteriores.

Answer 3

Dejemos que $f$ sea una función diferenciable sobre $(a,b)$ . Si el límite de la derecha en $a$ y el límite del lado izquierdo en $b$ existen y son finitas, entonces se puede extender (únicamente) $f$ a una función continua $\widetilde{f}$ en $[a,b]$ y aplicar el teorema del valor medio para $\widetilde{f}$ para obtener el resultado deseado para $f$ . Pero, en general, los límites laterales podrían ser infinitos, o podrían no existir en absoluto.

Answer 4

Si $f$ no es continua en los puntos finales, entonces ¿cómo podría saber los valores en los puntos finales sobre su comportamiento en otros lugares? Supongamos que tenemos la función $f: x \to x^2$ en el intervalo $(0,1)$ . Si $f$ es continua, entonces $f(0) = 0$ , $f(1) = 1$ por lo que la MVT dice que hay algún lugar donde la derivada de $f$ es $\frac{1-0}{1-0} = 1$ . Y efectivamente, $f'(0.5) = 1$ . Pero si $f$ no es continua, entonces $f(0)$ y $f(1)$ puede ser cualquier cosa. Por ejemplo, $f(0)$ podría ser $-100$ y $f(1)$ podría ser $100$ . Entonces la MVT requeriría que hubiera un punto en el intervalo tal que la derivada fuera $200$ lo que claramente no es el caso.

Sí, puedes tomar el límite en $f(a)$ en lugar de $f(a)$ pero entonces tienes que preocuparte de si ese límite existe, y si existe, entonces básicamente estás creando una nueva función con el valor en a sustituido por el límite en $a$ . Entonces, ¿por qué tener un teorema que diga "Dada cualquier función $f_1$ , si $f_1$ puede convertirse en una función continua $f_2$ entonces esto es válido para $f_2$ ", cuando se puede decir simplemente "Esto es válido para una función continua"?