Aplicaciones de Topología geométrica a la física teórica

Question

Geométrica de la topología es el estudio de los colectores, mapas entre los colectores y incrustaciones de colectores en el uno al otro. Se incluyen en esta sub-rama de la Matemática Pura; nudo de la teoría, homotopy, colector de la teoría, la teoría de la cirugía, y otros temas son desarrollados en numerosos detalles. Sabes por casualidad de cualquiera de las aplicaciones de las técnicas y/o teoremas de la topología geométrica a la física teórica? Supongo que la mayoría de las aplicaciones están en topológico de la teoría cuántica de campos. ¿Alguien sabe de algún específico (te estoy pidiendo detalles técnicos) usos de decir, whitney trucos, casson asas, o cualquier cosa, desde la teoría de la cirugía?

Si usted no puede dar una respuesta completa, las referencias a la literatura relevante iba a funcionar así.

Answer 1

(lo siento, no tenemos la reputación suficiente para hacer un comentario): Esta pregunta es muy amplia/vaga, como de hecho algebraicas/topología diferencial (geometría simpléctica, por supuesto) es completamente utilizada en la física teórica, en particular para Topológico QFTs. De un físico perspectiva, empezar con Nakahara la Geometría, la Topología y Física. La cirugía, cobordism, y los gustos son utilizados en el Nudo de la Teoría, que Witten ha sido el estudio de la Teoría de cuerdas y otros TQFT.

Y creo que el más 'cool' tema para empezar es el de Gauss-Bonnet Teorema, puesto que aparece en la acción funcional.

Answer 2

Si te gusta Casson Maneja, te encantará exóticas suavidad. Básicamente, con una torre infinita de Casson asas se puede construir un colector que es homeomórficos pero no diffeomorphic a la "costumbre" $\mathbb{R}^4$. La idea es empujar el Morse de puntos (que mostraría un cambio topológico) "hasta el infinito", de modo que topológico de equivalencia se mantiene, pero ahora no hay diffeomorphism entre el Casson asa y un subconjunto de a $\mathbb{R}^4$. Exóticos $\mathbb{R}^4$, a su vez, puede ser utilizado para el modelo de materia oscura y tiene numerosas aplicaciones en la gravedad cuántica.

Una buena física de revisión puede encontrarse en el texto de Asselmeyer-Maluga y Salvado, y un buen matemático de referencia es Scorpan, El Mundo Salvaje de 4-Variedades. La investigación actual incluye archivo de documentos (la mayoría de los cuales han sido publishsed en algún lugar): 9610009, 1101.3168, 1112.4882.

Answer 3

Bien, me gustaría dar una perspectiva diferente a la de tren de pensamiento aquí. Geométrica de la topología y sus campos relacionados son importantes en el estudio de las membranas elásticas y las hojas y su d-dimensional variantes. En particular, la comprensión de transformaciones topológicas de vesículas de membrana o de las hojas es no trivial y problema abierto. En una nota relacionada, el 1-d análogos de membranas de polímeros y el nudo de la teoría juega un papel importante en el estudio y clasificación de los enredos de los fenómenos densa soluciones de polímeros. Homotopy ha sido más ampliamente utilizado durante bastante tiempo ahora, en el contexto de la clasificación topológica de defectos tanto en el campo de las teorías y en sistemas de materia condensada.