¿Cómo fue la fórmula integral para el coeficiente binomial descubierto?

Question

Me enteré de la integral de fórmulas cuando la lectura de un libro acerca de ellos y la combinatoria. En ese libro, y Continua Identidades, pero no explica cómo fueron descubiertos. Creo que es muy importante.

Un integrante de la fórmula para el coeficiente binomial, según Wikipedia, es:

$\frac{2^{n-1}}{ \pi} \int_{-\pi}^\pi \cos{((2m-n)x})\cos{(x)}^n dx = \binom{n}{m}$

Entiendo que la prueba en el libro, pero no tienen idea de cómo la identidad se pensó en primer lugar.

Answer 1

La identidad trig $$\cos(x)^n = 2^{-n}\sum{k=0}^n {n \choose k}\cos((n-2k)x)$ $ combinado con el resultado $$ \int{-\pi}^\pi \cos(nx)\cos(mx) dx = \delta_{n,m}\pi,$$ if $n$ or $m\ne 0$ and $2\pi$ de lo contrario, da fácilmente la fórmula integral que desea.

Answer 2

Que puede ser visto como una consecuencia de un principio más general: si $\{a_n\}_{n\geq 0}$ es una secuencia de números complejos débil cumplimiento de las restricciones, $f(z)=\sum_{n\geq 0}a_n z^n$ es un holomorphic función en una vecindad del origen. A la inversa, dada una holomorphic función en una vecindad del origen, de sus derivados, en el origen, puede ser calculada a través de la adecuada integrales, como consecuencia de Cauchy de la integral/ fórmula del teorema de los residuos. Los coeficientes binomiales son, naturalmente, relativa a cambiado monomials, es decir, a través de $$ (1+z)^n = \sum_{k\geq 0}\binom{n}{k}z^k, $$ donde el lado izquierdo es una función completa. En particular $$ \binom{n}{k}=\operatorname*{Res}_{z=0}\frac{(1+z)^n}{z^{k+1}}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z|=1}\frac{(1+z)^n}{z^{k+1}}\,dz = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}(1+e^{i\theta})^n e^{-ki\theta}\,d\theta $$ donde la igualdad entre el primer término y el último también puede ser visto como una consecuencia directa de la relación de ortogonalidad $\int_{0}^{2\pi}e^{ai\theta}e^{-bi\theta}\,d\theta=2\pi\delta(a,b)$. Con un poco de maquillage, esta identidad se convierte en una determinada. En particular, dejando $\theta=2\varphi$ obtenemos: $$\binom{n}{k}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(1+e^{2i\varphi})^n e^{-2ki\varphi}\,d\varphi=\frac{2^n}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos^n(\varphi)e^{(n-2k)i\varphi}\,d\varphi $$ y somos libres para reemplazar a $e^{(n-2k)i\varphi}$ con su parte real, ya que el lado izquierdo es claramente real: $$\binom{n}{k}=\frac{2^n}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos^n(\varphi)\cos((n-2k)\varphi)\,d\varphi. $$ Es suficiente para explotar la paridad y la hemos terminado.