¿Podemos siempre establecer si una serie infinita converge o diverge?

Question

Actualmente estoy trabajando con serie infinita para mi clase de cálculo, y me pregunto si siempre (en teoría) podemos establecer si una serie es convergente o divergente? Por supuesto, puede ser computacionalmente difícil, pero hay una clase de serie que simplemente carecemos de las herramientas para determinar si la serie converge o diverge?

Answer 1

No estoy seguro si esto es lo que quieres. Considerar que la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$, $$a_n=\begin{cases}1&\text{ if }2^n-1\text{ is prime}\0&\text{ otherwise.}\end{cases}$ $It no se sabe si converge o no.

Answer 2

Sólo por diversión, cualquiera que sea fundamentales del sistema $S$ está trabajando, siempre y cuando el $S$ puede manejar la aritmética básica, aquí es una serie que $S$ (y por lo tanto, usted) no puede demostrar que converge, y que la esperanza de $S$ no demuestra que diverge! $ \def\nn{\mathbb{N}} $

Deje $f : \nn \to \nn$ tal que para cada natural $n$, $f(n) = 1$ si hay una prueba más de $S$ de la longitud en la mayoría de las $n$ de contradicción, y $f(n) = 0$ lo contrario.

A continuación, $S$ no puede demostrar que $\sum_{n=0}^\infty f(n)$ converge (de lo contrario $S$ se demuestra a sí misma consistente, lo que contradice el teorema de la incompletitud de Gödel).

Y $S$ mejor no demostrar que $\sum_{n=0}^\infty f(n)$ diverge (de lo contrario $S$ se demuestra a sí misma incompatible).

Un curioso hecho (si uno nunca ha visto el fenómeno de incompletitud antes) es que, si $S$ es consistente, entonces $S$ puede demostrar que $f(0) = 0$ $f(1) = 0$ $f(1+1) = 0$ y así sucesivamente, pero no puede demostrar "$\forall n \in \nn\ ( f(n) = 0 )$".

Uno puede mejorar esto, a través de algo equivalente a Rosser del truco, para obtener una serie que $S$ (y por lo tanto, usted) no puede demostrar o desmentir si converge!

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En general, cualquier pregunta de la forma "siempre Es posible determinar (probar o refutar) si un objeto en la colección de $C$ satisface la propiedad $P$?" es probable que "no" como respuesta, si usted puede utilizar $P$ adecuados a los miembros de $C$ a determinar si cualquier sentencia sobre $S$ es comprobable o no.

Answer 3

No, hay algunos criterios (por ejemplo $|an|/|a{n+1}| \rightarrow l